Tematyka książki oscylujące wokół szeroko pojętych podstaw matematyki oraz jej filozofii. Zagadnienia przedstawione są w postaci 18 artykułów. W mojej opinii najciekawsze są te traktujące o programie formalizmu D. Hilberta, a przede wszystkim o odkryciach K. Gödla, które, w zasadzie, spowodowały upadek tego programu. I twierdzenie Gödla dotyczy niezupełności Peana arytmetyki liczb naturalnych i systemów bogatszych, które przedstawił Autor na przykładzie ciągu Goodsteina, będącego twierdzeniem matematycznym, i którego treść jest kombinatoryczna i teorioliczbowa (Paris, Harrington, Kiryby), a nie poprzez arytmetyzację składni tak, jak pierwotnie zrobił to K. Gödel, otrzymując twierdzenie metamatematyczne, czyli w pewnym sensie spoza samej matematyki. II twierdzenie Gödla dotyczy niedowodliwości niesprzeczności Peana arytmetyki liczb naturalnych w niej samej. Z twierdzeń tych płyną bardzo istotne wnioski, pierwszy to, że istnieje pewna ograniczoność poznawcza aksjomatyczno-dedukcyjnych systemów formalnych (Gödel), a tym samym istnieją granice formalizacji w matematyce, drugi to, że w matematyce nie istnieją absolutne dowody niesprzeczności (Gödel), trzeci to, że istnieje nieograniczona ilość prawd matematycznych, z czego wynika, że komputer nigdy nie zastąpi człowieka (matematyka), czwarty, to, że dowody przedstawionych twierdzeń o zdaniach nierozstrzygalnych danych teorii używają modeli niestandardowych, w sposób niekonstruktywny, czyli bez podania informacji na temat samego modelu aksjomatycznego (i jego liczb), co niekoniecznie jest interesujące dla „typowych matematyków” (teorioliczbowców), gdyż ich interesuje prawdziwość, względnie dowodliwość (co nie jest tożsame!) zdań w standardowym (zamierzonym) modelu liczb naturalnych, czyli modelu 𝔑₀ = ⟨ℕ, 0, 𝑆, +, ⋅⟩. Oczywiście samo pojęcie „model standardowy” (w sensie matematycznym!), nie tylko arytmetyczny bądź teorioliczbowy, są kwestią umowną (choć niecałkowicie dowolną!), tym niemniej w środowisku matematyków panuje zgoda, że twierdzenia (i otrzymywane z nich zdania) dowodzi się na gruncie teoriomnogościowego modelu Zermela-Fraenkla z aksjomatem wyboru (𝑍𝐹𝐶), który stanowi podstawę pozostałych działów matematyki. Póki co, nie udało się znaleźć zdań o treści matematycznej, nierozstrzygalnych na gruncie 𝑍𝐹𝐶+𝑃𝐴 (zbiór zdań o l. naturalnych dowodliwych w 𝑍𝐹𝐶) poza kilkoma przykładami zdań metamatematycznych.
Książka jest napisana bardzo precyzyjne (w nomenklaturze statystyki matematycznej – dokładnie), ale jednocześnie wyjątkowo przystępnie. Zdecydowanie polecić mogę książki prof. R. Murawskiego, które poruszają najważniejsze problemy podstaw matematyki, bardzo cieszy mnie fakt, że wypełniają one tę niszę tematyczną na polskim rynku wydawniczym, dając jednocześnie możliwość, nawet matematycznemu laikowi, poznawanie tajemnic podstaw Królowej Nauk, mimo, iż poruszają tematykę dość trudną, i poza niewielkimi fragmentami typowo formalnymi, dotyczącymi głównie I twierdzenia Gödla, powinna być zrozumiała nawet dla tzw. „humanistów”.
𝑃𝑆 za ewentualne „spoilowanie” części jednego z artykułów z góry przepraszam, ale musiałem dać upust swojej fascynacji tą tematyką, oraz nieco nakreślić jej zagadnienia osobom, które, z jakichś powodów, nie będą mogły przeczytać, tej bardzo dobrej, książki, a także filozofom, nierzadko nadinterpretującym twierdzenia Gödla, co wynika z ich niezrozumienia.
𝑃𝑆 2 przy okazji tej recenzji chciałbym bardzo serdecznie podziękować Panu prof. Murawskiemu za podarowanie mi (tak, bezpłatne!) 4 książek Jego autorstwa, wraz z dedykacją!

Tematyka książki oscylujące wokół szeroko pojętych podstaw matematyki oraz jej filozofii. Zagadnienia przedstawione są w postaci 18 artykułów. W mojej opinii najciekawsze są te traktujące o programie formalizmu D. Hilberta, a przede wszystkim o odkryciach K. Gödla, które, w zasadzie, spowodowały upadek tego programu. I twierdzenie Gödla dotyczy niezupełności Peana...