Roman Murawski

Jest to druga książka autorstwa R. Murawskiego, którą miałem przyjemność przeczytać. Recenzja dotyczy wydania II, z roku 2001, nakładem Wydawnictwa Naukowego PWN. Treść jej dotyczy przekroju filozofii matematyki, rozwijanej na przestrzeni prawie 2500 lat, i składa się z dwóch części oraz Dodatku. Część pierwsza przedstawia pokrótce filozoficzne poglądy na matematykę, kolejno, takich uczonych jak: Platon, Arystoteles, Euklides, Proklos, Mikołaj z Kuzy, Kartezjusz, Blaise Pascal, G.W. Leibniz, I. Kant, B. Bolzano, J. S. Mill, R. Dedekind, G. Cantor, H. Poincaré. Dorobek matematyczny większości z powyższych uczonych bardziej znaczący dla niej samej, niż jej filozofii oraz filozofii w ogóle. Dlatego ta część książki nie jest zbyt ciekawa i można pominąć ją, bez uszczerbku dla reszty jej treści. Część druga traktuje o współczesnych kierunkach filozofii matematyki, takich jak, kolejno, logicyzm, intuicjonizm/konstruktywizm, formalizm oraz kierunki rozwijane po roku 1931, czyli po opublikowaniu przełomowych prac K. Gödla (o niezupełności Peana arytmetyki liczb naturalnych i systemów bogatszych oraz niedowodliwości niesprzeczności w niej samej). Oprócz opisu powyższych kierunków autor scharakteryzował główne założenia ich systemów matematycznych (s)tworzonych/odkrytych przez ich głównych przedstawicieli: logicyzm – G. Fregge, B. Russel, A. Whitehead, G. Peano; intuicjonizm/konstruktywizm – L. Brouwer, A. Heytig, A. Kołmogorow, L. Kronecker, E. Bishop; formalizm - D. Hilbert, H. Curry. I tak, założenia formalne logicyzmu opisane zostały na przykładzie teorii typów logicznych stworzonych (odkrytych) przez B. Russela i A. Whiteheada i zawartych w dziele „𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑎 𝑚𝑎𝑡ℎ𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎”, intuicjonizm/konstruktywizm na przykładzie skonstruowanej przez J. Brouwera i jego następców logiki intuicjonistycznej (odrzucającą metodę aksjomatyczną – nie wystarczy postulować istnienie obiektów, ale należy podać ich konstrukcję),systemu arytmetyki pierwotnie rekurencyjnej (𝑃𝑅𝐴) stosowanego dzisiaj w tzw. matematyce odwrotnej (!) oraz teorii rekursji (rachunek λ, klasa funkcji obliczalnych). Formalizm dotyczy oczywiście D. Hilberta programu unifikacji matematyki, przy użyciu metod finitystycznych, a dla którego (wystarczającym) warunkiem poprawności jest niesprzeczność systemu. Dzięki rozwojowi swojego programu stworzył D. Hilbert taką dyscyplinę matematyki jak metamatematyka (inaczej teoria dowodu). Program ten w zasadzie załamał się po opublikowaniu przez K. Gödla pracy o niezupełności (I tw. Gödla),a następnie udowodnieniu przez samego D. Hilberta niedowodliwości jej niesprzeczności w niej samej (II tw. Gödla). Późniejsze prace matematyków pokazały, że program D. Hilberta, da się jednak częściowo zrealizować przy pomocy wspomnianej już matematyki odwrotnej (dla arytmetyki II rzędu). Ostatnie fragmenty części drugiej nowych kierunków filozofii matematyki, takich jak empiryzm, 𝑞𝑢𝑎𝑠𝑖-empiryzm (antyfundacjonizm I. Lakatosa) oraz realizm (P. Maddy, S. Saphiro). Dodatek zaczyna się krótką charakterystyką filozoficznych zagadnień teorii mnogości w ujęciu historycznym, począwszy od jej stworzenia/odkrycia przez G. Cantora, z krótkim omówieniem jego prac, oraz trudności jakie napotkali matematycy po odkryciu w niej antynomii (największej liczby porządkowej, zbioru wszystkich zbiorów i klas niezwrotnych) przed jej zaksjomatyzowaniem. Pierwotną, nieaksjomatyczną (antynomijna) teorię mnogości G. Cantora, obecnie określa się jako naiwną teorię mnogości. Przełomowym momentem było zaproponowanie przez E. Zermela jej aksjomatyki, którą następnie A. Fraenkel i T. Skolem uzupełnili o dodatkowe aksjomaty, tym samy powstała w pełni zaksjomatyzowana, jak dotąd niesprzeczna, teoria mnogości (Zermela-Fraenkla),będąca dzisiaj powszechnie przyjmowaną i najczęściej stosowaną aksjomatyką, która stanowi fundament całej matematyki klasycznej. Za najciekawszy fragment, nie tylko Dodatku, ale i całej książki uważam ten dotyczący aksjomatu wyboru (𝐴𝐶),z jednej strony będący źródłem paradoksów (np. Banacha-Tarskiego; lecz nie antynomii!),z drugiej niezbędny do wyprowadzenia dowodów takich twierdzeń analizy jak: twierdzenie Tichonowa, Hahna-Banacha, lematu Urysohna, dowód istnienia liczb mierzalnych w sensie Lebesgue'a, równoważności definicji ciągłości funkcji Cauchy'ego i Heinego. Aksjomat ten różni się od reszty aksjomatów 𝑍𝐹 tym, że jest niekonstruktywny. 𝐴𝐶 nierozerwalnie wiąże się z hipotezą continuum (𝐶𝐻),sformułowaną już przez G. Cantora. W roku 1938 K. Gödel (a jakże!) udowodnił niesprzeczność 𝐴𝐶 i 𝐶𝐻 z resztą aksjomatów 𝑍𝐹, ale dopiero w roku 1963 P. Cochen, przy użyciu tzw. forsingu, udowodnił niezależność 𝐴𝐶 i 𝐶𝐻 od aksjomatyki 𝑍𝐹, oraz, że 𝐶𝐻 nie wynika z 𝐴𝐶 i odwrotnie. W związku w powyższymi trudnościami ze stosowaniem 𝐴𝐶 zaczęto szukać dla niego alternatyw, okazał się nią aksjomat determinancji Mycielskiego-Steinhausa (𝐴𝐷),którego problem niesprzeczności z pozostałymi aksjomatami 𝑍𝐹 jest nadal otwarty, choć z jednej z konsekwencji 𝐴𝐷 wynika, że jest on sprzeczny z 𝐴𝐶. Na korzyść 𝐴𝐶 przeważa fakt, że jest on ogólną zasadą teoriomnogościową dotyczącą pojęcia zbioru w ogólności, natomiast 𝐴𝐷 nią nie jest, ponieważ dotyczy on przestrzeni Baire'a ω^ω i nie może być uogólniony na wszystkie klasy zbiorów, bez popadnięcia w sprzeczność. Przy okazji omawiania 𝐴𝐶 i 𝐶𝐻 warto wspomnieć o twierdzeniu Kreisla, mówiącym, że dołączenie do aksjomatyki 𝑍𝐹 𝐴𝐶 i 𝐶𝐻 nie daje żadnych nowych informacji o liczbach naturalnych (I tw. Gödla),których nie dawałaby arytmetyka Peana. Ta część książki świetnie pokazuje, że podstawy matematyki, niestety, nie są tak pewne i oczywiste, jak mogłoby to wydawać się na etapie szkolnej edukacji, gdzie jawi się ona jako nauka całkowicie pewna i niepodważalna. Podsumowując – jest to ciekawa książka, będąca krótkim przekrojem historii filozofii matematyki oraz stanowiąca filozoficzną refleksję nad problemami jej teoriomnogościowych podstaw, trochę szkoda, że Autor nieproporcjonalnie (wg mnie) podzielił objętość treści na poszczególne zagadnienia - część pierwszą można byłoby usunąć, a przynajmniej uszczuplić i obszerniej opisać zagadnienia charakteryzujące inne niż 𝑍𝐹 systemy aksjomatyczne teorii mnogości (np. Von Neumanna-Bernays-Gödla, NBG),zagadnienia niesprzeczności i (nie)zupełności (w tym niezupełności Peana arytmetyki liczb naturalnych – I tw. Gödla). Jeśli chodzi o porównanie tej książki z książką J. Dadaczyńskiego „Filozofia matematyki w ujęciu historycznym”, to uważam, że ta druga jest nieznacznie lepsza, przede wszystkim z powodu obszerniej potraktowanego materiału, choć brakuje w niej 𝑝𝑜𝑠𝑡-Gödlowskiego okresu rozwoju (filozofii) matematyki oraz, że tematykę tę kategoryzuje bardziej pod kątem określonych nurtów filozofii matematyki w perspektywie czasowej, a nie stanowisk konkretnych matematyków/filozofów. 𝑃𝑆 za ewentualne spoilowanie jednej z części książki z góry przepraszam, ale musiałem dać upust swojej fascynacji tą tematyką, oraz nieco nakreślić jej zagadnienia osobom, które, z jakichś powodów, nie będą mogły (chciały?) jej przeczytać. 𝑃𝑆2 przy okazji tej recenzji chciałbym bardzo serdecznie podziękować Panu prof. Murawskiemu za podarowanie mi (tak, bezpłatnie!) 4 książek (w tym tej) Jego autorstwa, wraz z dedykacją!