Niniejsza książka jest kolejną już pozycją traktującą o historii oraz filozofii logiki i matematyki powstałą z rąk prof. R. Murawskiego, podobnie jak "Szkice z filozofii i historii matematyki i logiki", którą zrecenzowałem. Składa się z 19 prac, za najciekawsze, uważam te dotyczące podstaw matematyki, a konkretnie – twierdzeń limitacyjnych: Gödla, Löwenheima-Skolema oraz Tarskiego. W recenzji „Szkiców z filozofii i historii matematyki i logiki” skupiłem się omówieniu twierdzeń Gödla, natomiast w tej recenzji scharakteryzuję twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności pojęcia prawdy w matematyce, które mówi, że zbiór zdań prawdziwych danej teorii sformalizowanej nie jest definiowalny w jej języku. Oznacza to różnicę pomiędzy jej syntaktyką (czyli dowodliwością),a semantyką (czyli prawdziwością) – widać tutaj duże podobieństwo do treści II twierdzenia Gödla. W języku filozofii można niejako powiedzieć, że prawdziwość transcenduje dowodliwość, czyli jest to zagadnienie epistemologiczne, tzn. czy jest ona pojęciem absolutnym czy względnym lub obiektywnym czy subiektywnym.
Zagłębiając się bardziej w szczegóły formalne, A. Tarski zdefiniował pojęcie prawdy poprzez spełnianie, tj. spełnianie zdania/formuły danej teorii formalnej przez pewne wartościowanie występujących w niej zmiennych, przy zadanej interpretacji terminów pierwotnych jej syntaktyki (składni). Definicja prawdy Tarskiego jest definicją rekurencyjną, tzn. wychodzi od bezpośredniego określenia predykatu prawdziwości dla zdań lub formuł, a następnie definiuje go indukcyjnie. Zastąpienie jej definicją jednoznaczną wymaga przejścia na wyższy poziom w hierarchii języków, czyli konieczność odróżnienia języka, dla którego definiuje się pojęcie prawdy i metajęzyka, w którym pojęcie to definiuje się. Innymi słowy można stwierdzić, że w danym języku formalnym nie można zdefiniować pojęcia prawdy dla tego języka, aby to zrobić należy należy użyć silniejszych środków dowodowych, które wychodzą poza ten język, dotyczy to również samej definicji spełniania. Indukcyjne definiowanie predykatu prawdziwości implikuje wystąpienie nieskończoności przez nieskończone wartościowania ciągów elementów rozważanej dziedziny, jak i w przypadku prawdziwości/spełniania formuł z kwantyfikatorem uniwersalnym, który odwołuje się do ogółu obiektów dziedziny, więc budowanie semantyki danego języka formalnego teorii wymaga metod nieskończonych. Z powyższych rozważań wynika, że syntaktyka jest słabsza od semantyki, czyli, że w matematyce dowodliwość nie jest równoznaczna prawdziwości, ponieważ w danej teorii formalnej istnieją zdania prawdziwe, które nie mogą być dowodliwe (rozstrzygalne) – wspomniana wcześniej analogia do II tw. Gödla, więc pojęcie prawdy zastąpić należy pojęciem modelu. Jak się jednak okazuje teoria może mieć więcej niż jeden model zamierzony (standardowy),a modele te nie są do siebie podobne. Tym samym prawdę należy zrelatywizować do prawdziwości w konkretnym modelu. Na przykład arytmetykę liczb naturalnych 𝔑₀ = ⟨ℕ, 0, 𝑆, +, ⋅⟩ można wzbogacić o predykat spełniania 𝑆 oraz dodać aksjomaty opisujące spełnianie, a tym samym o pojęcie prawdy w tym modelu, choć nie dla każdego modelu arytmetyki daje się określić w nim pojęcie spełniania, ponieważ warunkiem koniecznym jest rekurencyjna nasyconość (por. „Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematyki. Problemy zupełności, rozstrzygalności, twierdzenia Gödla” – R. Murawski). Niestety, w danej teorii pojęcie prawdy i spełniania można określić na wiele wzajemnie sprzecznych sposobów, które czynią fałszywymi nieskończone koniunkcje czy alternatywy prawdziwych, w oczywisty sposób, zdań tej teorii. Powyższe fakty pokazują, że aksjomatyczna charakterystyka prawdy nie jest jednoznaczna i zupełna, a tym samym może być interpretowana na wiele różnych sposobów, a dodane aksjomaty spełniania są za słabe, aby ściśle ją zdefiniować, choć można zastosować znacznie silniejsze, teoriomnogościowe, środki, co wymaga rezygnacji ze skończoności, czyli założenia, że ciągi dowodowe w matematyce mają skończoną długość i odwołują się jedynie do skończonej ilości przesłanek.
W książce znalazłem kilka błędów edytorskich powstałych w trakcie przepisywania prac:
• str. 30., jest: „… Prege…”; powinno być: „… Frege…”
• str. 42., jest: „… P. Bmaysa…”; powinno być: „… P. Bernaysa…”
• str. 77., jest: „… of funkcji obliczalnych…”; powinno być: „… funkcji obliczalnych…”
• str. 90., jest: „… bwoiem…”; powinno być: „… bowiem…”
• str. 100., jest: „… footnote.por…”
• str. 163., jest: „𝑝⇒(𝑝⇒𝑞)”; powinno być: „¬𝑝⇒(𝑝⇒𝑞)” – prawo Dunsa Szkota
• str. 177., jest: „… nie rozwiązane…”; powinno być: „… nierozwiązane…”
• str. 184., jest: „… nie znane…”; powinno być: „… nieznane…”
• str. 255., jest: „…, które są dziś nierozstrzygalne są istotnie nierozstrzygalne czy też nie.”
Podsumowując niniejszą książkę – jest to kolejna już wyjątkowo ciekawa i cenna pozycja na rynku, w której poruszane są niezwykle istotne problemy podstaw matematyki. Łącznie z książką „Szkice z filozofii i historii matematyki i logiki” R. Murawskiego, jest to niemal obowiązkowa pozycja dla osób interesujących się matematyką i logiką. Mam nadzieję, że Autor nie zaprzestanie publikowania swoich prac w postaci książek papierowych.

Niniejsza książka jest kolejną już pozycją traktującą o historii oraz filozofii logiki i matematyki powstałą z rąk prof. R. Murawskiego, podobnie jak "Szkice z filozofii i historii matematyki i logiki", którą zrecenzowałem. Składa się z 19 prac, za najciekawsze, uważam te dotyczące podstaw matematyki, a konkretnie – twierdzeń limitacyjnych: Gödla, Löwenheima-Skolema oraz...