Jesteśmy społecznością, która kocha książki

Książka niniejsza została napisana przez jednego z najwybitniejszych przedstawicieli lwowsko-warszawskiej szkoły matematycznej – polskiego matematyka i logika Alfreda Tarskiego, który uważany jest za jednego z największych logików wszech czasów, razem z takimi logikami jak Arystoteles, Gottlob Frege i Kurt Gödel. Był on autorem przełomowych prac nie tylko w szeroko pojętej logice formalnej (teorii modeli, metamatematyce),ale również w teorii mnogości, algebrze, geometrii algebraicznej, a nawet filozofii (por. semantyczna teoria prawdy). Zapewne większość osób interesujących się matematyką, nawet hobbystycznie, słyszało o słynnym paradoksie Tarskiego-Banacha, ujawniającym pewną nietypową właściwość teoriomnogościowego aksjomatu wyboru, który niezbędny jest nie tylko w samej teorii mnogości, ale także w analizie (matematycznej) do udowodnienia ważnych twierdzeń, takich jak: Hahna-Banacha, Tichonowa, lematu Urysohna, równoważność definicji ciągłości funkcji Cauchy'ego i Heinego, istnienia liczb mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Jak podkreśla autor nie jest to klasyczny podręcznik akademicki, a bardziej książka popularnonaukowa niejako opowiadająca o logice oraz, w mniejszym stopniu, teorii mnogości, toteż nie ma w niej nadmiernej formalizacji, która została zastąpiona słownym wyjaśnieniem na wielu przykładach, co ma niewątpliwe walory dydaktyczne dla czytelnika, który obeznany z nią nie jest. Doczekała się ona wielu wydań i jeszcze więcej tłumaczeń na różne języki. Mimo zmian w stosunku do swojej pierwotnej wersji, nadal odznacza się nieco archaicznym językiem, co może trochę utrudniać jej lekturę, o czym napiszę w toku dalszej recenzji. Treść składa się z dziesięciu rozdziałów, każdy zakończony jest ćwiczeniami, choć szkoda, że autor nie zawarł odpowiedzi o nich. Pierwszy rozdział („O użyciu zmiennych”) wyjaśnia podstawowe definicje logiki, takie jak: prawa i twierdzenia logiki, stała, zmienna wolna i związana, nazwa, funkcja (forma) zdaniowa, funkcja (forma) nazwowa, zdanie, kwantyfikatory. Zagadnienia te zostały wyjaśnione poprawnie i przystępnie, jednak uważam, że definicje kwantyfikatorów powinny zostać omówione dopiero w rozdziale traktującym o rachunku predykatów. Drugi rozdział („O rachunku zdań”) skupia się głównie na charakterystyce najważniejszy spójników logicznych (funktorów od zmiennych zdaniowych),czyli negacji, koniunkcji, równoważności, szczególnie dokładnie zostały omówione alternatywa oraz implikacja. Zauważalną zaletą jest szczegółowe omówienie i rozróżnienie alternatywy na jej dwa rodzaje: wyłączającą i niewyłączająca, oraz uzasadnienie stosowania w logice tej drugiej i porównania jej do tej pierwszej, stosowanej w języku potocznym. Jeszcze bardziej szczegółowo i obszernie scharakteryzowany został spójnik implikacji materialnej, choć momentami nieco chaotycznie, oraz jak w przypadku alternatywy, jego rozróżnienie w stosunku implikacji warunkowej stosowanej w języku potocznym, która traktowana jest w nim intensjonalnie, poprzez narzucanie związku treściowego pomiędzy połączonymi nią zdaniami, co nierzadko jest ogromnym utrapieniem na początkowym etapie nauki logiki. Rozdział ten zawiera również zasady formułowania definicji rachunku zdań, ich symbolikę, tautologie (prawa) oraz zero-jedynkowe (semantyczne) jego ujęcie, również w odniesieniu do stosowania go w dowodach matematycznych, takich jak: dowód nie wprost i dowód zupełny. W opisie tego pierwszego zastosowana została, nie inaczej, tautologia 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑠 𝑡𝑜𝑙𝑙𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑛𝑠, czyli dowodzenie poprzez sprowadzenie do sprzeczności, w opisie tego drugiego zastosowana została reguła odrywania (czyli dedukcja, tautologia 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑠). W rozdziale tym, bez wątpienia zabrakło aksjomatycznego przedstawienia rachunku zdań, omówienia innych reguł inferencji – reguły podstawiania i zastępowania definicyjnego, a także ważnych zagadnień metalogicznych, głównie równoważności ujęcia semantycznego i syntaktycznego (zero-jedynkowego i aksjomatycznego) klasycznego rachunku zdań, czyli 𝑇=𝐶𝑛(𝐴). Niecałe 30 stron przeznaczone na omówienie rachunku zdań uważam za niewystarczające, zważywszy na fakt, że jest to podstawowy i najważniejszy fragment logiki klasycznej. Podsumowując – nie jest to najlepszy rozdział książki. Trzeci rozdział („O teorii identyczności”) szczegółowo charakteryzuje relację identyczności (równości) i jej prawa, choć niefortunnie została ona nazwana prawem Leibniza. Znalazły się w nim również takie zagadnienia jak rozróżnienie pomiędzy identycznością przedmiotów, a ich oznaczaniem oraz, ponownie i niepotrzebnie kwantyfikatory, tym razem ilościowe. Rozdział ten należałoby włączyć do następnego rozdziału tratującego o teorii mnogości. Czwarty rozdział („O teorii klas”) ma przestarzałą nazwę, teoria klas obecnie nazywana jest teorią mnogości, a klasy nazywa się zbiorami (rzadziej mnogościami). Omówione zostały w nim: klasa pełna, klasa pusta, relacje między klasami, działania na klasach (tzw. algebra klas),czyli podstawowe zagadnienia nieaksjomatycznej (naiwnej) teorii klas (mnogości),klasy równoliczne i liczba kardynalna. Piąty rozdział („O teorii relacji”) definiuje pojęcie relacji, dziedzinę, przeciwdziedzinę, typy relacji takie jak: porządkujące, funkcje, funkcje odwracalne i relacje wieloczłonowe. Rozdział, niepotrzebnie, kończy się ni stąd, ni zowąd podpunktem dotyczącym znaczenia logiki dla innych nauk (?!). Jak już wspomniałem, rozdziały II,III i IV powinny być połączone w jeden, o aktualnym tytule „Teoria mnogości”. Byłby to zabieg zwiększający przejrzystość materiału. Przedstawione w nim zagadnienia są raczej wyczerpujące i przystępne, zdecydowanie lepiej niż drugi rozdział („O rachunku zdań”). Szósty rozdział („O metodzie dedukcyjnej”) podejmuje zagadnienia teorii modeli (choć określenie to w nim nie pada) oraz w mniejszym stopniu zagadnienia metalogiczne. Autor rozpoczyna ten rozdział od rozróżnienia między terminami pierwotnymi teorii, a terminami definiowalnymi za pomocą terminów pierwotnych. Nowo wprowadzonym pojęciem jest interpretacja modelu teorii aksjomatycznej, które sprowadzone jest do konstrukcji modelu dla systemu aksjomatycznego, w którym dane zdanie jest fałszywe. Odwołując się do niezależności tego zdania od przyjętego systemu aksjomatycznego formułowane jest twierdzenie o dedukcji, które mówi, że jeżeli zdanie β jest spełnione w dowolnym modelu danej teorii 𝐴 i jej zdania α, to implikacja α⇒β jest spełniona w dowolnym modelu dla tej teorii. Dzięki temu twierdzeniu można budować różnego typu dowody semantyczne, czyli dowody, polegające na na podaniu interpretacji dla danej teorii, którą konstruując uwzględnia się tylko formalną strukturę tworzących ją aksjomatów, a nie ich sens, a terminy pozalogiczne w nich występujące, nie posiadają ustalonego znaczenia i mogą być interpretowane na wiele sposobów. Następnie autor porusza zagadnienie wyboru aksjomatów, i konkluduje, że wybór ten nie jest z góry narzucony – kryteria ich wyboru mają najczęściej charakter praktyczny oraz dydaktyczny, a nawet estetyczny. Jedynym warunkiem ograniczającym ten wybór, jest wzajemna niezależność aksjomatów oraz wzajemna niedefiniowalność terminów pierwotnych. Ostatnimi zdefiniowanymi w tym rozdziale pojęciami są niesprzeczność i zupełność teorii. Jeśli teoria spełnia te wymagania, to w stosunku do każdego zdania pozwala stwierdzić jednoznacznie, czy zdanie to jest prawdziwe lub fałszywe na gruncie tej teorii, co oczywiście wiąże się z jej rozstrzygalnością, czyli możliwością sprawdzenia dla każdego zdania języka tej teorii, czy istnieje algorytm (mechaniczna procedura),pozwalający stwierdzić, czy jest ono dowodliwe w tej teorii. Przykładami teorii niesprzecznych i zupełnych są klasyczny rachunek zdań oraz geometria elementarna, przykładem teorii niesprzecznej i niezupełnej arytmetyka liczb naturalnych 𝔑₀. Rozdział ten uważam za najciekawszy w całej książce choć zawarte w nim zagadnienia są w nim podane w postaci niesformalizowanej, czyli wyłącznie słownej. Dlatego też poświeciłem mu najwięcej miejsca w tej recenzji. Jest on bardzo wartościowym wstępem do kolejnych rozdziałów, gdzie autor pokazuje krok po kroku, na przykładzie systemu liczb rzeczywistych ℜ, konstrukcje kilku równoważnych jego modeli aksjomatycznych. Jedyne moim zastrzeżenie jakie mam do tego rozdziału to nazwa – powinna ona brzmieć „O teorii modeli” lub „Teoria modeli”. Na koniec dodać należy, że to właśnie w teorii modeli A. Tarski wniósł największy wkład do logiki matematycznej. Rozdział siódmy („Konstrukcja teorii matematycznej: prawa uporządkowania liczb”) opisuje, na przykładzie systemu arytmetyki liczb rzeczywistych ℜ, zastosowanie wprowadzonych uprzednio terminów pierwotnych i aksjomatów, wraz z przykładami prostych dowodów nie wprost dla niego, udowadniających podstawowe własności relacji między liczbami. Rozdział ósmy („Konstrukcja teorii matematycznej: prawa dodawania i odejmowania”) jest kontynuacją rozdziału poprzedniego – teoria uzupełniona zostaje o aksjomaty dodawania i odejmowania liczb. Rozdział dziewiąty („Rozważania metodologiczne dotyczące skonstruowanej teorii”) – autor analizuje niezależność utworzonego zbioru systemu aksjomatów (systemu) i eliminuje te, które da się wyprowadzić z pozostałych i pokazuje, jak należy zastosować do niego postulaty metodologiczne, które sformułowane zostały w rozdziale szóstym, podobnie postępując w stosunku do terminów pierwotnych tej teorii. Całość umożliwia stworzenie trzech niezależnych od siebie systemów aksjomatycznych, które są logicznie równoważne. Różnią się one tym, że pierwsze dwa zawierają mniejszą liczbę terminów pierwotnych (w systemie drugim występuje mniej terminów pierwotnych niż w pierwszym),zaś trzeci zawiera najmniejszą liczbę aksjomatów. Na końcu rozdziału autor bada problem niesprzeczności i zupełności skonstruowanej teorii i dowodzi, że jest ona niezupełna. Rozdział dziesiąty („Rozszerzenie skonstruowanej teorii: podstawy arytmetyki liczb rzeczywistych”) przedstawia teorię w sposób pełny, co uwidacznia, że stworzone systemy aksjomatyczne różnią się od siebie własnościami metodologicznymi i dydaktycznymi. System pierwszy ma większe walory metodologiczne – jego aksjomaty i terminy pierwotne są od siebie niezależne. System drugi ma większe walory dydaktyczne – jego aksjomaty są bardziej intuicyjne i łatwiej można go rozszerzyć do innych teorii matematycznych. Teraz trochę o błędach, niefortunnych wyrażeniach, i nieodpowiednim rozmieszczeniu niektórych zagadnień w poszczególnych rozdziałach, które wystąpiły w książce: • niekonsekwencja w nazywaniu języka naturalnego: język potoczny, codzienny, naturalny, powszechny • opis kwantyfikatorów przez rozdziałem o rachunku zdań • niekonsekwencja w nazywaniu kwantyfikatorów: kwantyfikator i operator • str. 10., jest: „… przybierze wartość…” • str. 10., jest: „… odnośnymi ćwiczeniami…” • str. 11., jest: „… nie ruszając zmiennej…” • str. 21., jest: „… stwierdzenie koniunkcji…” • str. 22., jest: „… spełnić jedno z tych życzeń…” • str. 22., jest: „… wygłaszając implikację…” • str. 24., jest: „… dedukowanie następnika z poprzednika [dla implikacji materialnej]…” • str. 25., jest: „… konstatujemy implikację…” • str. 46., jest: „… zamieniwszy…” • brak omówienia hierarchii języków we fragmencie dotyczącym używania cudzysłowu • nazywanie zbiorów klasami, a elementów zbioru indywiduami klasy • str. 72., jest: „… wywierając wszędzie wielce stymulujący i zapładniający wpływ…” • str. 82., jest: „… warianty prawdziwy-fałszywy roztrząsano nie tylko w dysputach filozoficznych…” • str. 83., jest: „… algebra klas jako odrębna gałąź teorii klas…” • str. 84., jest: „… nie-ujemną…” • str. 84., jest: „… jedno-elementowej…” • str. 79., jest: „… nie-pustą…” • str. 79., jest: „… unaocznimy sobie to prawo…” • str. 80., jest: „… stara logika…” • str. 80., jest: „… tradycyjna logika…” • str. 85., jest: „… ugruntowanie całej matematyki jako dział czystej logiki…” • str. 103., jest: „… relacja zawierania…”; następnie:„… relacja inkluzji…” • str. 108., jest: „… zrobić założenie…” • str. 113., jest: „… 𝑧 = 𝑥𝑅𝑦, gdzie 𝑥 jest wynikiem działania 𝑅 wykonanego na 𝑥 i 𝑦.” • str. 135., jest: „… nie będziemy tutaj roztrząsali…”. Podsumowanie. Choć książka ma ponad 80 lat, to niewiele straciła ze swoich pewnych zalet dydaktycznych, poza nieco archaicznym językiem i kilkoma powyższymi błędami. W związku z bardzo przeciętnymi rozdziałami I-II, kluczowymi do dobrego wyłożenia logiki, raczej nie jest ona najlepszym wyborem, jako pierwsza książka, do nauki jej podstaw, choć częściowo nadrabia to rozdziałami VI-X, gdzie pokazane jest zastosowanie teorii modeli w praktyce – do konstrukcji niesprzecznej i zupełnej teorii matematycznej (systemu liczb rzeczywistych ℜ),co bez wątpienia ma duże walory dydaktyczne. Chociażby z tego powodu warto po nią sięgnąć, nie mniej jednak to za mało, aby dać jej ocenę wyższą niż 7/10.