Jedność matematyki

Może matematyka to nieskończony labirynt struktur, który będziemy cywilizacyjnie eksplorować do naszego końca, bez szans na zbudowanie obrazu całości? Pozostając w tej stylistyce, źle uczona jako przedmiot szkolny, formuje sfrustrowanego adepta ulokowanego w ślepych korytarzach z mylnym poczuciem nieatrakcyjności konstrukcji. Doprowadza czasem do szaleństwa, choć z reguły pozwala zrozumieć głębokie relacje czy nowe wymiary świata. Kłopot jest i na wyższym poziomie. A może nie ma labiryntu, lecz tylko ludzki subiektywny umysł go tworzy z onirycznych pragnień, może jak budowniczowie sami formujemy go w realność do naszych oczekiwań i przydatnych zastosowań, a może to zaledwie spójność procesu eksploracji niesprzecznych konstrukcji układa się w pozorną gmatwaninę ścieżek? Filozofowie nauki etykietują takie koncepcje różnie – platonizm, logicyzm, intuicjonizm, formalizm, konstruktywizm. Sporo w tych poszukiwaniach ludzkiej potrzeby katalogowania, nazywania. Ostatecznie matematyka jest jedna, choć wielowątkowa. Nie potrzeba jej wiele do inicjacji – ‘załóżmy to i tamto, a zobaczymy gdzie nas to poprowadzi’. Zadziwiające jest to, że da się konsekwencjami takiego oszczędnego początku stworzyć narzędzia intelektualne pozwalające na opis tego, co zmysłami doświadczamy, i co fascynujące, daje wgląd w świat z wielu powodów nam niedostępny. Zbigniew Semadeni, profesor matematyki, jak mało kto, predestynowany jest do zmierzenia się z wewnętrznymi demonami tej nauki, z mozołem i subtelnościami procesu dydaktycznego, z filozoficznymi pytaniami natury zasadniczej, czy z historyczną lekcją dla współczesnych ekspertów od królowej nauk. Warto Jego wspaniałą książkę przywołać z podtytułem, który tłumaczy trzy podstawowe filary monografii – „Różne oblicza matematyki. Matematyka z historycznego, ontogenetycznego i filozoficznego punktu widzenia”. Tak atrakcyjnej dawki wielowymiarowego odczytania matematyki, jej potencjału, świadomości ograniczeń twórców, błyskotliwości i odwagi w stawianiu głębokich pytań z akcentowaniem potrzeby pokory, jeszcze nie czytałem. Książka pozostawia czytelnika z pytaniami osadzonymi na solidniejszych fundamentach, niż miał on szanse formułować przed lekturą. Przy okazji dostaje odpowiedzi, a raczej dobrze umotywowane uzasadnienia do nieszablonowego odczytania istoty matematyki. W intencji autora, książka jest skierowana do laika, do tego podana z perspektywy nauk humanistycznych i społecznych. Jest w tym sporo niedomówienia, które może prowadzić do nieporozumień. Będę się starał w rozwinięciu opinii dookreślić faktyczny poziom dostępności treści monografii. Między jej okładkami znalazło się miejsce na szeroki wachlarz zagadnień. Jest proces szacowania przez niemowlaka liczebności zbioru przedmiotów, są wielkie, a jednocześnie infantylnie ułomne poprzez braki narzędzi dla nas oczywistych, osiągnięcia starożytności, czy zanalizowane długie okresy odrzucania wielkich idei w wyniku kurczowego trzymania się naturalizmu i współczesne konsekwencje wyboru języka teorii mnogości i topologii dla narracji matematycznej.

Publikacją profesor szuka klucza do zrozumienia istoty matematyki w jak najszerszym horyzoncie czasowym, z odsłanianiem kontekstu i inspiracji w lingwistyce, sztuce, muzyce i filozofii z jej koncepcjami – od ontologii przez metafizykę po epistemologię. Bada ontogenetyczny rozwój myśli geometrycznej i arytmetycznej do XIX wieku. Komentuje modele Piageta by opisać rozwój intuicji matematycznej u dzieci w duchu konstruktywizmu pedagogiki. Przy okazji buduje bardzo ciekawe analogie między trudnościami z przechodzeniem dzieci na kolejne poziomy wtajemniczenia a ograniczeniami kolejnych pokoleń matematyków. W obydwu procesach dochodzi do przełomów pojęciowych, uogólnień, etapów stagnacji i przebłysków otwierających nowe możliwości poznawcze (str. 361-387). Cel takiej konstrukcji wywodu jest genialny w swej prostocie i bardzo płodny intelektualnie skoro poszukuje się i zestawia ograniczenia jednostek w okresie rozwoju osobniczego i cywilizacje na etapach, gdy badało się struktury w sposób geometryczne wysublimowany, a do XVII wieku nie istniał formalny i wystarczająco poręczny język symboli, by zapisać banalny rachunek znany kilkulatkom: 2+3=5 (str. 117). Za poniższymi słowami profesora stoi cała armia przykładów, solidnych obserwacji, zrozumienie dla problematyki matematycznej edukacji szkolnej i niedoskonałości przedmiotowej materii u myślicieli starożytności i średniowiecza (str. 391):

„Chcąc lepiej wniknąć w trudności matematyków z odległych czasów, w ich ówczesne ograniczenia, warto porównywać to z przechodzeniem myślenia dzieci od procesów do obiektów i z przeszkodami ujawniającymi się na drodze od arytmetyki do algebry.”

Ponieważ Semadeni interesował się zmiennością rozumienia matematyki od czasów Pitagorasa i Talesa do Hilberta Gödla, przy czym żaden z tuzów tej nauki nie był celem samym w sobie, bo stanowili oni co najwyżej egzemplifikacje ewolucji rozumienia geometrycznych i arytmetycznych struktur, to dominują w publikacji przekrojowe porównania. Szczególnie dużo miejsca poświecił profesor na odkłamywanie uwspółcześnionych procesów i języka, które przed setkami lat były teoretykom obce. Czasem prowadzi to do nieporozumień i błędów interpretacyjnych. Do tego wspierał się przede wszystkim momentami fermentu w procesie poznawczym, kuriozami, brzemiennymi w skutki czy blokującymi postęp konstrukcjami (zamkniętymi na uniwersalizacje, czasem zbyt jednostronnymi w postulatach),bądź ponadczasowymi obserwacjami. W szczególności, narracja najobszerniejszej pierwszej części, oparta została na uprzedzeniach i wizjonerstwie w wychodzeniu poza Euklidesowy świat przestrzeni i rozszerzaniu systemu liczb naturalnych o rzeczywiste i zespolone. W przypadku pierwszej struktury, profesor przedyskutował szeroko wartość „Elementów” i nowożytny proces oswajania się z matematyków z ‘realnością krzywizn’. Samą walką o usankcjonowanie geometrii nieeuklidesowych aktywował opór tradycjonalistów jeszcze kilkanaście dekad temu (str. 242-243):

„Panowało powszechne przekonanie, że geometria euklidesowa jest prawdziwym opisem form i relacji otaczającego świata. Jednym z założeń mechaniki Newtona I Eulera było to, że struktura wszechświata jest euklidesowa. Zdawano sobie sprawę z tego, że w arytmetyce, algebrze, w rachunku różniczkowym i całkowym jest wiele zasadniczych niejasności, ale geometria była nie tylko uznawana za prawdziwą, ale też była gwarantem całej matematyki. System geometrii oparty na zaprzeczeniu (P5) był wówczas nie do pomyślenia.”

[P5 – to słynny piąty postulat Euklidesa, który przez ponad 2000 lat stanowił źródło napięć, by okazać się czymś zbędnym w teorii przestrzeni zaproponowanej w finalnej wersji przez Riemanna.]

Formująca się arytmetyki, którą wchłonęła algebra, poddana współcześnie ‘teoriomnogościowemu rozszerzeniu’, doznała więc wielkiego przeobrażenia i stała się abstrakcyjna całkiem niedawno. Już samo przejście od liczb naturalnych do całkowitych, to ciekawa poglądowa dyskusja której matematyk poświecił kilka sformalizowanych stron (str. 156-160) by oswoić czytelnika z metodyką (opisując ciekawie kolejne kroki w wersji spójnej i równolegle w bardziej intuicyjnej, jako komentarz procesu).

Nie da się uniknąć komentarza do zasygnalizowanego we wstępie stopnia zaawansowania, gdy pytamy o odbiorcę książki. To kolejny tekst z serii Fundacji na Rzecz Nauki Polskiej, w której dominują nauki humanistyczno-społeczne. W pewnym kluczowym sensie, ten tom jest wyjątkowy. Zadeklarowany przez autora odbiorca musi się liczyć z dużą dawką słownictwa formalnego i trudnego. Co istotniejsze, niektóre pojęcia nie są wyjaśnione (klasa równoważności, klasa abstrakcji, nieprzywiedlność, kongruencja, zanurzenie). Wciąż jednak sedno przekazu (zmienność rozumienia struktur matematyki w ostatnich 25-ciu wiekach, rozwój dostępnych środków wyrazu i symboliki, proces abstrahowania, uniwersalizacja, redefinicja metod dowodzenia, inspiracje i nawiązania) pozwalają odnaleźć się w tekście każdemu, kto chce poznać opowieść o przekształceniach królowej nauk. Ile się z treści uda wydobyć, to faktycznie zależy od formalnego wykształcenia i wiedzy ściślej (oraz czasu poświęconego na lekturze i uczciwości w maksymalnym oddaniu się tekstowi). Nawet jeśli ktoś jednak nie miał na studiach matematyki (czyli w zasadzie poznał ją do stanu na początek XVII wieku),dysponuje aparatem do zrozumienia połowy zdań (to taka moja kalkulacja). Pełna radość z każdego detalu i sformułowania, wymaga co najmniej licencjatu z matematyki uniwersyteckiej. Atrakcyjne, z punktu widzenia ‘rasowych humanistów’ ze zdolnościami lingwistycznymi, są ciekawe dyskusje nad językiem matematyków. Szczególnie widać to w licznych przywołanych wypowiedziach, w których kluczowe frazy podano wraz z oryginałem (greckim, łacińskim, francuskim czy niemieckim). Dostajemy też sporą dawkę ciekawostek o polskim języku matematyki (kariera pojęcie ‘struktura’ – str. 465, czy kontrowersje wokół różnic między: ‘punkt leży na prostej’ i ‘punkt przynależy do prostej’ – str. 329). Piękne rozdziały o pedagogice i poznawaniu składników matematyki u dziecka (str. 346-391),czy piękne zestawienie biegunów napięć intelektualnych, transgresje poznawcze i rola intuicji (str. 453-462) – czyta się jednym tchem. Ornamentyka, muzyka oktaw, wyobraźnia Eschera, ograniczenia w konstrukcji matematyki greckiej czy środowiskowa percepcja rewolucji nieeuklidesowej przedstawionej przez Riemanna i ‘ugładzonej’ przez Kleina – to trochę bardziej wymagające fragmenty, choć wciąż z dostępną istotą zagadnienia dla każdego. Krytyka wobec części historyków matematyki przeceniania roli Kanta w blokowania wyjścia poza przestrzeń Euklidesa (str. 274-278) powinna zainteresować filozofów (podobnie jak inspirujące podsumowanie kierunków filozofii matematyki w XX wieku – str. 468-490). Na drugim końcu są zaawansowane rozważania o zbiorach Cantora. Część z dodatków matematycznych, to faktycznie wymagające skupienia paragrafy (na przykład ten o paradoksalnym rozkładzie kuli, choć z drugiej strony wprowadzenie w liczby zespolone czy rachunek różniczkowy – piękne i intuicyjne). Sam rozdzialik o homotopii – to już ‘klasa abstrakcji’ dla czytelników podręczników matematyki.

W matematyce przełomy poprzedzają długie okresy dojrzewania pojęć, budowania struktur i sondowania możliwości doprecyzowania jej składników w kolejnych twierdzeniach, lematach. Semadeni niemal w całości odrzuca model Kuhnowskiej rewolucji do uprawianej przez zawodowców ‘matematyki czystej’. Jednocześnie dopuszcza ‘paradygmatyczne skoki ku nowemu’ w przypadku rozważań filozofii matematyki. Wychodzi daleko poza ‘jądro technik matematyki’ – czyli dedukcyjny rygor. Pokazując okresy płynnego traktowania pojęcia ‘aksjomat’ czy falowanie i przemiany w dobie nowoczesności - od uporządkowania fundamentów (Dedekind, Cantor, Weierstrass),akcentowania logicyzmu (Russell, Whitehead),‘formalizm cyzelowany’ (grupa Bourbaki) po ‘totalną algebraizację teoriomnogosciowo-topologiczną’ (status w zasadzie obecny) – oswaja czytelnika z wielką pracą wykonaną przez niepopularnych w mediach akademików. Jeśli do tego dodamy ustalenia Gödla (o niesprzeczności i niezupełności) czy Cohena (o arbitralności wyboru statusu hipotezy continuum z wszystkimi tego konsekwencjami),to stajemy u progu tego, czym zajmują się matematycy w ostatnich dekadach. Prawda i fałsz nawet w matematyce jest czymś stopniowalnym (polecam piękny cytat z wypowiedzi prof. Mostowskiego – str. 480).

„Różne oblicza matematyki” to jednak zdecydowanie wyjście poza hermetyczny język, poza zagadnienia wyłącznie potrzebne matematykom. Matematyka, jako całość, wymyka się redukcjonizmowi, chociażby poprzez zastosowania i nawiązania z innych składników ludzkiej aktywności. Samej fizyki (jako oczywistego beneficjenta ustaleń matematyki i nauki od stuleci twórczo wpływającej zwrotnie na kierunki rozwoju królowej nauk) jest tu niewiele.

Książka profesora jest wybitna. Trafiła w moje potrzeby i oczekiwania od tekstu opisującego kondycję matematyki. Każdy poruszony w niej aspekt (ewolucja myśli, filozofia, historia kontekstowa, oswajanie się z nią dziecka) – to kopalnia treści ciekawych, pouczających i podanych w sposób umożliwiający dalsze poszukiwania (są rozbudowane przypisy, indeks nazwisk, literatura).

WYBITNE – 9/10

Jedność matematyki

Może matematyka to nieskończony labirynt struktur, który będziemy cywilizacyjnie eksplorować do naszego końca, bez szans na zbudowanie obrazu całości? Pozostając w tej stylistyce, źle uczona jako przedmiot szkolny, formuje sfrustrowanego adepta ulokowanego w ślepych korytarzach z mylnym poczuciem nieatrakcyjności konstrukcji. Doprowadza czasem do...

Opis książki na stronie wydawcy (i tu) nie oddaje jej treści, jest b. słaby, wybiórczy. Zainteresowana osoba powinna zapoznać się raczej ze spisem treści (i może również z wywiadem z profesorem, do znalezienia na stronach ,,Dwójki'' PR).

Książka poskładana z kawałków, z których sporo - głównie tych z części 3. - wyraźnie wystaje, co czyni książkę mniej elegancką lub (nie ,,albo'') ciekawszą. Dla mnie raczej to pierwsze, choć zdecydowanie cieszę się z tego, że te dość luźne i delikatnie zarysowane wątki części 3. ocalały.

Szkoda, że autor nie pokusił się o jakąś oryginalną myśl, ale w tej serii to chyba nie jest w zwyczaju.

Opis książki na stronie wydawcy (i tu) nie oddaje jej treści, jest b. słaby, wybiórczy. Zainteresowana osoba powinna zapoznać się raczej ze spisem treści (i może również z wywiadem z profesorem, do znalezienia na stronach ,,Dwójki'' PR).

Książka poskładana z kawałków, z których sporo - głównie tych z części 3. - wyraźnie wystaje, co czyni książkę mniej elegancką lub (nie...