Zbigniew Semadeni

Jedność matematyki Może matematyka to nieskończony labirynt struktur, który będziemy cywilizacyjnie eksplorować do naszego końca, bez szans na zbudowanie obrazu całości? Pozostając w tej stylistyce, źle uczona jako przedmiot szkolny, formuje sfrustrowanego adepta ulokowanego w ślepych korytarzach z mylnym poczuciem nieatrakcyjności konstrukcji. Doprowadza czasem do szaleństwa, choć z reguły pozwala zrozumieć głębokie relacje czy nowe wymiary świata. Kłopot jest i na wyższym poziomie. A może nie ma labiryntu, lecz tylko ludzki subiektywny umysł go tworzy z onirycznych pragnień, może jak budowniczowie sami formujemy go w realność do naszych oczekiwań i przydatnych zastosowań, a może to zaledwie spójność procesu eksploracji niesprzecznych konstrukcji układa się w pozorną gmatwaninę ścieżek? Filozofowie nauki etykietują takie koncepcje różnie – platonizm, logicyzm, intuicjonizm, formalizm, konstruktywizm. Sporo w tych poszukiwaniach ludzkiej potrzeby katalogowania, nazywania. Ostatecznie matematyka jest jedna, choć wielowątkowa. Nie potrzeba jej wiele do inicjacji – ‘załóżmy to i tamto, a zobaczymy gdzie nas to poprowadzi’. Zadziwiające jest to, że da się konsekwencjami takiego oszczędnego początku stworzyć narzędzia intelektualne pozwalające na opis tego, co zmysłami doświadczamy, i co fascynujące, daje wgląd w świat z wielu powodów nam niedostępny. Zbigniew Semadeni, profesor matematyki, jak mało kto, predestynowany jest do zmierzenia się z wewnętrznymi demonami tej nauki, z mozołem i subtelnościami procesu dydaktycznego, z filozoficznymi pytaniami natury zasadniczej, czy z historyczną lekcją dla współczesnych ekspertów od królowej nauk. Warto Jego wspaniałą książkę przywołać z podtytułem, który tłumaczy trzy podstawowe filary monografii – „Różne oblicza matematyki. Matematyka z historycznego, ontogenetycznego i filozoficznego punktu widzenia”. Tak atrakcyjnej dawki wielowymiarowego odczytania matematyki, jej potencjału, świadomości ograniczeń twórców, błyskotliwości i odwagi w stawianiu głębokich pytań z akcentowaniem potrzeby pokory, jeszcze nie czytałem. Książka pozostawia czytelnika z pytaniami osadzonymi na solidniejszych fundamentach, niż miał on szanse formułować przed lekturą. Przy okazji dostaje odpowiedzi, a raczej dobrze umotywowane uzasadnienia do nieszablonowego odczytania istoty matematyki. W intencji autora, książka jest skierowana do laika, do tego podana z perspektywy nauk humanistycznych i społecznych. Jest w tym sporo niedomówienia, które może prowadzić do nieporozumień. Będę się starał w rozwinięciu opinii dookreślić faktyczny poziom dostępności treści monografii. Między jej okładkami znalazło się miejsce na szeroki wachlarz zagadnień. Jest proces szacowania przez niemowlaka liczebności zbioru przedmiotów, są wielkie, a jednocześnie infantylnie ułomne poprzez braki narzędzi dla nas oczywistych, osiągnięcia starożytności, czy zanalizowane długie okresy odrzucania wielkich idei w wyniku kurczowego trzymania się naturalizmu i współczesne konsekwencje wyboru języka teorii mnogości i topologii dla narracji matematycznej. Publikacją profesor szuka klucza do zrozumienia istoty matematyki w jak najszerszym horyzoncie czasowym, z odsłanianiem kontekstu i inspiracji w lingwistyce, sztuce, muzyce i filozofii z jej koncepcjami – od ontologii przez metafizykę po epistemologię. Bada ontogenetyczny rozwój myśli geometrycznej i arytmetycznej do XIX wieku. Komentuje modele Piageta by opisać rozwój intuicji matematycznej u dzieci w duchu konstruktywizmu pedagogiki. Przy okazji buduje bardzo ciekawe analogie między trudnościami z przechodzeniem dzieci na kolejne poziomy wtajemniczenia a ograniczeniami kolejnych pokoleń matematyków. W obydwu procesach dochodzi do przełomów pojęciowych, uogólnień, etapów stagnacji i przebłysków otwierających nowe możliwości poznawcze (str. 361-387). Cel takiej konstrukcji wywodu jest genialny w swej prostocie i bardzo płodny intelektualnie skoro poszukuje się i zestawia ograniczenia jednostek w okresie rozwoju osobniczego i cywilizacje na etapach, gdy badało się struktury w sposób geometryczne wysublimowany, a do XVII wieku nie istniał formalny i wystarczająco poręczny język symboli, by zapisać banalny rachunek znany kilkulatkom: 2+3=5 (str. 117). Za poniższymi słowami profesora stoi cała armia przykładów, solidnych obserwacji, zrozumienie dla problematyki matematycznej edukacji szkolnej i niedoskonałości przedmiotowej materii u myślicieli starożytności i średniowiecza (str. 391): „Chcąc lepiej wniknąć w trudności matematyków z odległych czasów, w ich ówczesne ograniczenia, warto porównywać to z przechodzeniem myślenia dzieci od procesów do obiektów i z przeszkodami ujawniającymi się na drodze od arytmetyki do algebry.” Ponieważ Semadeni interesował się zmiennością rozumienia matematyki od czasów Pitagorasa i Talesa do Hilberta Gödla, przy czym żaden z tuzów tej nauki nie był celem samym w sobie, bo stanowili oni co najwyżej egzemplifikacje ewolucji rozumienia geometrycznych i arytmetycznych struktur, to dominują w publikacji przekrojowe porównania. Szczególnie dużo miejsca poświecił profesor na odkłamywanie uwspółcześnionych procesów i języka, które przed setkami lat były teoretykom obce. Czasem prowadzi to do nieporozumień i błędów interpretacyjnych. Do tego wspierał się przede wszystkim momentami fermentu w procesie poznawczym, kuriozami, brzemiennymi w skutki czy blokującymi postęp konstrukcjami (zamkniętymi na uniwersalizacje, czasem zbyt jednostronnymi w postulatach),bądź ponadczasowymi obserwacjami. W szczególności, narracja najobszerniejszej pierwszej części, oparta została na uprzedzeniach i wizjonerstwie w wychodzeniu poza Euklidesowy świat przestrzeni i rozszerzaniu systemu liczb naturalnych o rzeczywiste i zespolone. W przypadku pierwszej struktury, profesor przedyskutował szeroko wartość „Elementów” i nowożytny proces oswajania się z matematyków z ‘realnością krzywizn’. Samą walką o usankcjonowanie geometrii nieeuklidesowych aktywował opór tradycjonalistów jeszcze kilkanaście dekad temu (str. 242-243): „Panowało powszechne przekonanie, że geometria euklidesowa jest prawdziwym opisem form i relacji otaczającego świata. Jednym z założeń mechaniki Newtona I Eulera było to, że struktura wszechświata jest euklidesowa. Zdawano sobie sprawę z tego, że w arytmetyce, algebrze, w rachunku różniczkowym i całkowym jest wiele zasadniczych niejasności, ale geometria była nie tylko uznawana za prawdziwą, ale też była gwarantem całej matematyki. System geometrii oparty na zaprzeczeniu (P5) był wówczas nie do pomyślenia.” [P5 – to słynny piąty postulat Euklidesa, który przez ponad 2000 lat stanowił źródło napięć, by okazać się czymś zbędnym w teorii przestrzeni zaproponowanej w finalnej wersji przez Riemanna.] Formująca się arytmetyki, którą wchłonęła algebra, poddana współcześnie ‘teoriomnogościowemu rozszerzeniu’, doznała więc wielkiego przeobrażenia i stała się abstrakcyjna całkiem niedawno. Już samo przejście od liczb naturalnych do całkowitych, to ciekawa poglądowa dyskusja której matematyk poświecił kilka sformalizowanych stron (str. 156-160) by oswoić czytelnika z metodyką (opisując ciekawie kolejne kroki w wersji spójnej i równolegle w bardziej intuicyjnej, jako komentarz procesu). Nie da się uniknąć komentarza do zasygnalizowanego we wstępie stopnia zaawansowania, gdy pytamy o odbiorcę książki. To kolejny tekst z serii Fundacji na Rzecz Nauki Polskiej, w której dominują nauki humanistyczno-społeczne. W pewnym kluczowym sensie, ten tom jest wyjątkowy. Zadeklarowany przez autora odbiorca musi się liczyć z dużą dawką słownictwa formalnego i trudnego. Co istotniejsze, niektóre pojęcia nie są wyjaśnione (klasa równoważności, klasa abstrakcji, nieprzywiedlność, kongruencja, zanurzenie). Wciąż jednak sedno przekazu (zmienność rozumienia struktur matematyki w ostatnich 25-ciu wiekach, rozwój dostępnych środków wyrazu i symboliki, proces abstrahowania, uniwersalizacja, redefinicja metod dowodzenia, inspiracje i nawiązania) pozwalają odnaleźć się w tekście każdemu, kto chce poznać opowieść o przekształceniach królowej nauk. Ile się z treści uda wydobyć, to faktycznie zależy od formalnego wykształcenia i wiedzy ściślej (oraz czasu poświęconego na lekturze i uczciwości w maksymalnym oddaniu się tekstowi). Nawet jeśli ktoś jednak nie miał na studiach matematyki (czyli w zasadzie poznał ją do stanu na początek XVII wieku),dysponuje aparatem do zrozumienia połowy zdań (to taka moja kalkulacja). Pełna radość z każdego detalu i sformułowania, wymaga co najmniej licencjatu z matematyki uniwersyteckiej. Atrakcyjne, z punktu widzenia ‘rasowych humanistów’ ze zdolnościami lingwistycznymi, są ciekawe dyskusje nad językiem matematyków. Szczególnie widać to w licznych przywołanych wypowiedziach, w których kluczowe frazy podano wraz z oryginałem (greckim, łacińskim, francuskim czy niemieckim). Dostajemy też sporą dawkę ciekawostek o polskim języku matematyki (kariera pojęcie ‘struktura’ – str. 465, czy kontrowersje wokół różnic między: ‘punkt leży na prostej’ i ‘punkt przynależy do prostej’ – str. 329). Piękne rozdziały o pedagogice i poznawaniu składników matematyki u dziecka (str. 346-391),czy piękne zestawienie biegunów napięć intelektualnych, transgresje poznawcze i rola intuicji (str. 453-462) – czyta się jednym tchem. Ornamentyka, muzyka oktaw, wyobraźnia Eschera, ograniczenia w konstrukcji matematyki greckiej czy środowiskowa percepcja rewolucji nieeuklidesowej przedstawionej przez Riemanna i ‘ugładzonej’ przez Kleina – to trochę bardziej wymagające fragmenty, choć wciąż z dostępną istotą zagadnienia dla każdego. Krytyka wobec części historyków matematyki przeceniania roli Kanta w blokowania wyjścia poza przestrzeń Euklidesa (str. 274-278) powinna zainteresować filozofów (podobnie jak inspirujące podsumowanie kierunków filozofii matematyki w XX wieku – str. 468-490). Na drugim końcu są zaawansowane rozważania o zbiorach Cantora. Część z dodatków matematycznych, to faktycznie wymagające skupienia paragrafy (na przykład ten o paradoksalnym rozkładzie kuli, choć z drugiej strony wprowadzenie w liczby zespolone czy rachunek różniczkowy – piękne i intuicyjne). Sam rozdzialik o homotopii – to już ‘klasa abstrakcji’ dla czytelników podręczników matematyki. W matematyce przełomy poprzedzają długie okresy dojrzewania pojęć, budowania struktur i sondowania możliwości doprecyzowania jej składników w kolejnych twierdzeniach, lematach. Semadeni niemal w całości odrzuca model Kuhnowskiej rewolucji do uprawianej przez zawodowców ‘matematyki czystej’. Jednocześnie dopuszcza ‘paradygmatyczne skoki ku nowemu’ w przypadku rozważań filozofii matematyki. Wychodzi daleko poza ‘jądro technik matematyki’ – czyli dedukcyjny rygor. Pokazując okresy płynnego traktowania pojęcia ‘aksjomat’ czy falowanie i przemiany w dobie nowoczesności - od uporządkowania fundamentów (Dedekind, Cantor, Weierstrass),akcentowania logicyzmu (Russell, Whitehead),‘formalizm cyzelowany’ (grupa Bourbaki) po ‘totalną algebraizację teoriomnogosciowo-topologiczną’ (status w zasadzie obecny) – oswaja czytelnika z wielką pracą wykonaną przez niepopularnych w mediach akademików. Jeśli do tego dodamy ustalenia Gödla (o niesprzeczności i niezupełności) czy Cohena (o arbitralności wyboru statusu hipotezy continuum z wszystkimi tego konsekwencjami),to stajemy u progu tego, czym zajmują się matematycy w ostatnich dekadach. Prawda i fałsz nawet w matematyce jest czymś stopniowalnym (polecam piękny cytat z wypowiedzi prof. Mostowskiego – str. 480). „Różne oblicza matematyki” to jednak zdecydowanie wyjście poza hermetyczny język, poza zagadnienia wyłącznie potrzebne matematykom. Matematyka, jako całość, wymyka się redukcjonizmowi, chociażby poprzez zastosowania i nawiązania z innych składników ludzkiej aktywności. Samej fizyki (jako oczywistego beneficjenta ustaleń matematyki i nauki od stuleci twórczo wpływającej zwrotnie na kierunki rozwoju królowej nauk) jest tu niewiele. Książka profesora jest wybitna. Trafiła w moje potrzeby i oczekiwania od tekstu opisującego kondycję matematyki. Każdy poruszony w niej aspekt (ewolucja myśli, filozofia, historia kontekstowa, oswajanie się z nią dziecka) – to kopalnia treści ciekawych, pouczających i podanych w sposób umożliwiający dalsze poszukiwania (są rozbudowane przypisy, indeks nazwisk, literatura). WYBITNE – 9/10