Raz, dwa, trzy… matematyki potrzebujesz i ty.

Często ciekawe rzeczy, które nam umykają swoją oczywistością, warto przywołać i przepracować poddając weryfikacji stan naszego rozumienia ich istoty. Liczby to takie właśnie konstrukcje, które towarzyszą nam całe życie. O ich koncepcyjnych początkach, reprezentacjach graficznych, poszukiwaniu właściwości i relacji, opowiada książka dwóch zawodowych matematyków Alfreda S. Posamentier i Bernda Thallera. W opowieści jest trochę historii, sporo ciekawostek o liczbach naturalnych, solidna dawka rachunków na poziomie elementarnym i kończący całość rozdział o filozofii matematyki. „Liczby: ich dzieje, rodzaje, własności” nie jest rozczarowaniem, ale trochę zabrakło mi całościowego obrazu. Po bardzo dobrym początku, kolejne rozdziału okazały się różne, od średnich po znakomite.

Bardzo dobry rozdział pierwszy, gdzie niemal brawurowo autorzy pokazali na czym polega liczenie (str. 18-34),to jednocześnie subtelna analiza potrzeby oddzielenia istoty symboli wskazujących na liczby od nich samych, czyli abstrakcyjnych tworów. Pozornie to ‘dzielenie włosa na czworo’, ale warto poznać sens bijekcji (wszyscy intuicyjnie wiedzą czym ona jest, choć samo słowo może dość niszowe),by w pełni uchwycić istotę XX-wiecznych dyskusji o źródła struktur matematycznych i spory między platonikami a intuicjonistami czy strukturalistami. Na szczęście, „Liczby” to przede wszystkim książka o ciekawych własnościach liczb naturalnych i relacjach, które wynikają z żonglowania nimi, poszukiwania prawidłowości, relacji czy analogii. Dość skrótowy przegląd historii rachowania (wynalezienie zera, systemów pozycyjnych) rozbudowali matematycy o najnowsze ustalenia dotyczące procesu nabywania intuicji matematycznej przez dzieci, posiłkując się głównie badaniami S. Dehaene (*).

W książce zabrakło mi rozdziału omawiającego rodzaje liczb, szczególnie że tytuł sygnalizuje ten temat w szerszym wymiarze. Właściwie cała książka dotyczy liczb naturalnych, a obszerniejsze zbiory są tylko wspomniane mimochodem. Przy okazji tłumacz nieładnie pomylił liczby ‘niewymierne’ z ‘wymiernymi’ w krytycznym miejscu (str. 305),gdzie autorzy wprowadzali nieformalnie ich definicję. Arytmetyka jest dość trudnym i nużącym (dla niewprawionych i niezafascynowanych) działem matematyki, stąd nieco autorzy przesadzili w kilku miejscach, gdy namawiali „gorąco zachęcamy do poszukiwania” (na przykład liczb Karpekara, dla których wynik z parzystą liczbą cyfr kwadratu liczby podzielony na dwie części daje przy ich dodawaniu wyjściową liczbę; przy czym badania samodzielne należałoby rozpocząć w obszarze 10-cyfrowych liczb!). Takich nieco ‘zniechęcających zachęt’ jest kilka. Słabo wypadają dydaktycznie. Choć są jednocześnie i bardzo absorbujące i pouczające rozważania o złotym podziale czy liczbach Fibonacciego, które pięknie pogłębiają sens dwumianów i prawdopodobieństwo budujące trójkąt Pascala (str. 170-184). Humaniści, fani sztuki czy poezji również znajdą ciekawe matematyczne analogie i nie tylko chodzi o magiczny kwadrat na obrazie Dürera, ale o powinowactwa w inspiracji symetrią, tworzenie z pobudek zmierzenia się z pięknem w czystej postaci. Jeden rozdział – „Liczenie dla poetów” – to subtelne wyimki z interakcji królowej nauki z lingwistyką czy muzyką. Widać tu, jak Posamentier i Thaller dominujące konkretne abstrakcyjne przykłady rachunkowe przeplatają nieoczywistymi nawiązaniami z nie-matematycznych dziedzin. Do tego analiza ‘magii numerologicznej’ wyprowadzanej z egipskich piramid doczekała się ciekawego podsumowania (str. 317-328) ze studzącym emocje stwierdzeniem:

„Bardzo często naukowe wyjaśnienie – choć zapewne nie będzie tak romantyczne jak mistyka liczb – pokazuje, że za spekulacjami tego typu nie kryje się nic godnego uwagi.”

„Liczby” warto czytać z kartką i ołówkiem. Jest sporo rachunków (właściwie wyłącznie na liczbach wprost, bez pozaszkolnej symboliki),których przećwiczenie jest frajdą. Przy okazji można dowiedzieć się jak sprawdzić podzielność dowolnej liczby przez 7 (ciekawy algorytm o dużych możliwościach zastosowań) czy przeistoczyć się w detektywa, który szuka związków między dużymi zbiorami liczb ustrukturyzowanymi pod względem pewnych potrzeb. Język książki jest dostosowany niemal do każdego odbiorcy, który nie siwieje na samą myśl o matematyce. Pomocne grafiki, analogie geometryczne i szczegółowe opisy przekształceń, pomagają w poruszaniu się po materii arytmetyki. Matematyka niewątpliwie dużo wymaga od chcących ją poznać, ale i daje sporo. Można ją nawet potraktować jako intelektualną zabawę (str. 366):

„Matematyka jest sztuką konstruowania dowodów w ramach pewnej ustalonej logiki opartej na jakichś wybranych aksjomatach. Jeśli spojrzymy na nią w ten sposób, okaże się po prostu jedną z najstarszych gier polegających na żonglowaniu symbolami i słowami.”

DOBRE – 7/10

=======

* Po polsku są dostępne dwie książki Stanislasa Dehaene, a tu chodzi o nieprzetłumaczoną: „The Number Sense: How The Mind Creates Mathematics”; Oxford 2011

Raz, dwa, trzy… matematyki potrzebujesz i ty.

Często ciekawe rzeczy, które nam umykają swoją oczywistością, warto przywołać i przepracować poddając weryfikacji stan naszego rozumienia ich istoty. Liczby to takie właśnie konstrukcje, które towarzyszą nam całe życie. O ich koncepcyjnych początkach, reprezentacjach graficznych, poszukiwaniu właściwości i relacji, opowiada...