Jesteśmy społecznością, która kocha książki

Książka J. Barrowa dotyczy szeroko pojętej matematyki, i bynajmniej nie mam tu na myśli tego, że jest to podręcznik do jej nauki. Jest to pozycja typowo popularnonaukowa, zawierająca wiele zagadnień bezpośrednio z nią związanych, które przedstawione są w sześciu rozdziałach.
Pierwszy znihc („Od misterium do historii”) dotyczy ogólnej refleksji nad matematyką jako nauką formalną, nie jest on specjalnie ciekawy, ponadto jest niezbyt spójny, więc można go po prostu pominąć.
Rozdział drugi („Kont(r)kultura rachunków, czyli kultura rachunków”) dość szczegółowo opisuje jak na przestrzeni wieków rozwijały się systemy liczbowe i sama czynność liczenia, jest on ciekawy, ponieważ łączy w sobie aspekty historyczne, kulturowe i antropologiczne, nie da się nie odczuć, że autor musiał zadać sobie niemałą ilość trudu, aby zgłębić dostępną w tym zakresie literaturę naukową i spójnie ją w nim przedstawić, jest to jeden z trzech najlepszych rozdziałów tej książki.
Trzeci rozdział („Forma bez treści”) zaczyna się od charakterystyki jednego z pierwszych programów programu unifikacji matematyki – logicyzmu, zakładający sprowadzenie jej do logiki, którego autorami byli G. Frege, B. Russell i A. N. Whitehead. Najobszerniejsza jego treść dotyczy tła historycznego programu D. Hilberta - formalizmu, który miał na celu unifikację, poprzez całkowitą aksjomatyzację matematyki klasycznej, dowodząc niesprzeczności arytmetyki liczb naturalnych, i z niej wyprowadzić wszystkie inne jej działy, przy użyciu metod wyłącznie finitystycznych. Warto zaznaczyć, że dla D. Hilberta niesprzeczność była warunkiem wystarczającym poprawności danego systemu aksjomatycznego. W odniesieniu do formalizmu, w rozdziale tym nie mogło również zabraknąć obszernego opisu przełomowych prac K. Gödla, w których wykazał on niezupełność arytmetyki liczb naturalnych (w aksjomatyce Peana) i systemów bogatszych, grzebiąc tym samym marzenia D. Hilberta o unifikacji całej matematyki klasycznej, i uświadamiając matematykom, że nie nie da się całkowicie zamknąć jej w niesprzecznych i rozstrzygalnych systemach aksjomatycznych, mimo, iż jak dotąd nie stworzono/odkryto dla nich skuteczniejszych alternatyw. Niesamowicie ciekawie przedstawił autor znamienne, konsekwencje jakie mają dla całej matematyki oraz informatyki (głównie w odniesieniu do możliwości obliczeniowych komputerów i sztucznej inteligencji) twierdzenia Gödla, właśnie ten fragment stanowi zdecydowanie najciekawszą część książki. Rozdział kończy krótki opis badań G. Chaitina w zakresie matematycznej części informatyki, w kontekście wyznaczenia przez niego liczby Ω (stałej Chaitina).
Rozdział czwarty zawiera filozoficzną refleksje na temat matematyki, głównie na podstawie formalizmu D. Hilberta i poważnych konsekwencji twierdzeń Gödla, autor wspomniał również o twierdzeniu Shannona, opisał badania dotyczące poznania (intuicji?) matematycznego człowieka w zależności od jego stadium rozwojowego, na przykładzie eksperymentów psychologicznych J. Piageta i H. Gardnera oraz hipotezy o niealgorytmicznym funkcjonowaniu ludzkiego mózgu, wynikającego z faktu, że człowiek (K. Gödel) potrafił on udowodnić niezupełność arytmetyki liczb naturalnych (I twierdzenie Gödla), co wyznacza granice formalizacji w matematyce, pewną ograniczoność poznawczą systemów aksjomatyczno-dedukcyjnych oraz niewyczerpywalną ilość prawd matematycznych
Rozdział piąty zaczyna się od przedstawienia historii genialnego samouka matematycznego S. Ramanujana. Następnie opisuje rozwój intuicjonizmu matematycznego, rozwijanego głównie przez L. Brouwera, który miał na celu usunięcie z matematyki klasycznej neintuicjonistycznych pojęć, tym samym mocno ją ograniczając (całe szczęście, że paradygmat ten nie zyskał sobie wielu zwolenników…). Kolejno autor omawia przełomowe prace G. Cantora dotyczące teorii mnogości oraz badania P. Cochena, który za pomocą forcingu (pol. wymuszania) udowodnił niezależność hipotezy continuum z powszechnie stosowaną teoriomnogościową aksjomatyką Zermela-Fraenkla (𝑍𝐹), a której niesprzeczność tej hipotezy z 𝑍𝐹 już K. Gödel. Rozdział zawiera również opis historii tejże hipotezy, a także twierdzenia o czterech barwach, które zostało rozwiązane przy użyciu komputera, a dla którego klasyczny dowód matematyczny, nie został jak dotąd podany, fragment ten podejmuje refleksję nad tym, gdzie znajduje granica matematyki, jako aktywności intelektualnej, będącej, domeną 𝐻𝑜𝑚𝑜 𝑆𝑎𝑝𝑖𝑒𝑛𝑠. Oczywiście w tym temacie nie mogło zabraknąć również omówienia prac A. Turinga (w tym hipotezy Churcha-Turinga) dotyczących funkcji nieobliczalnych, i tym samym ograniczonej możliwości obliczeniowej komputerów.
Ostatni, szósty rozdział, traktuje o platonizmie matematycznym (jako obecnie wiodącym kierunku filozoficznym w matematyce), zaczynając od starożytnej Grecji, gdzie ma on swoje korzenie, przechodząc kolejno do poglądów C. Hermite'a i R. Penrose'a. Oprócz filozoficznego konspektu matematyki, na przykładzie platonizmu, scharakteryzowany został również jej aspekt kulturowy i refleksja nad jej wyjątkową skutecznością w opisywaniu otaczającej nas rzeczywistości, a także, na swój sposób, "matematycznego funkcjonowania" nas samych - ludzi.
Całość kończy bardzo bogata bibliografia uświadamiająca czytelnikowi ogrom pracy autora włożony w napisanie tej książki, która wyjątkowo rzetelnie przedstawia problemy nieleżące w zakresie jego aktywności zawodowej jako fizyka i matematyka, choć mocno irytujące są odniesienia do boga (tak wiem, autor jest anglikaninem), sugerujące, choć nie wprost, jego rolę we wszechświecie.
Podsumowując – jest to wyjątkowo ciekawa i cenna książka, poruszająca szeroki zakres najciekawszych zagadnień matematyki - jej historii, odkryć, zastosowań oraz wpływu na naszą cywilizację. Napisana jest w sposób wzbudzający ogromne zainteresowanie i skłaniający do refleksji nie tylko nad matematyką jako nauką, ale i nad światem oraz ludzką naturą. Polecam ścisłowcom i tzw. „humanistom”, bez wyjątku!

Książka J. Barrowa dotyczy szeroko pojętej matematyki, i bynajmniej nie mam tu na myśli tego, że jest to podręcznik do jej nauki. Jest to pozycja typowo popularnonaukowa, zawierająca wiele zagadnień bezpośrednio z nią związanych, które przedstawione są w sześciu rozdziałach.
Pierwszy znihc („Od misterium do historii”) dotyczy ogólnej refleksji nad matematyką jako nauką...

Jak na katolickiego filozofa, o dziwo, zaskakująco niezła pozycja, choć mocno filozoficzna, a mniej matematyczna, co, oczywiście, wynika z „profesji” autora. Poza typowymi zagadnieniami z filozofii matematyki książka porusza również istotne, aczkolwiek trudne dla ontologii matematyki (jako nauki formalnej) twierdzenia limitacyjne – Gödla, Löwenheima-Skolema, Tarskiego oraz hipotezę continuum. Pozytywnie zaskakuje niewielka ilość odniesień do boga i wiary, co w kontekście faktycznej, 13-letniej współpracy Życińskiego z SB, w zasadzie mnie nie dziwi. Momentami nierówna – np. nagłe przeskakiwanie z kosmologii do teorii ewolucji.
Znalazłem w książce jeden błąd:
• str. 63., jest: „… pierwiastki równania ζ(𝑧) = 0…”; powinno być: „… pierwiastki równania ζ(½+𝑖𝑧) = 0…”.
Dodam również, że jest mi po drodze z Życińskim, w kwestii platońskiej, choć łagodnej, filozofii matematyki (wg Monka 65% matematyków to właśnie platoniści). Cena książki (w edycji studenckiej) jest niewielka, więc na pewno mogę polecić ją każdemu, kto interesuję się nie tylko matematyką jako taką, ale przede wszystkim, jej filozofią (mimo mojej antypatii do „nauk humanistycznych”).

Jak na katolickiego filozofa, o dziwo, zaskakująco niezła pozycja, choć mocno filozoficzna, a mniej matematyczna, co, oczywiście, wynika z „profesji” autora. Poza typowymi zagadnieniami z filozofii matematyki książka porusza również istotne, aczkolwiek trudne dla ontologii matematyki (jako nauki formalnej) twierdzenia limitacyjne – Gödla, Löwenheima-Skolema, Tarskiego oraz...

Książka ta jest pierwszym podręcznikiem, poprzez który zetknąłem się logiką i jako taki, w zamierzeniu autora, przeznaczony jest głównie dla studentów kierunków humanistycznych, choć jak sam zaznaczył – nie chciał powielać istniejących już na rynku podręczników. Wybór jej na pierwszą lekturę podyktowany został względami raczej pragmatycznymi, aniżeli opiniami czy rankingami innych czytelników zainteresowanych logiką, w tym recenzjami naukowców i/lub nauczycieli akademickich, bo tych w internecie przynajmniej brak. Pozycja ta nie zakłada od czytelnika uprzedniej znajomości logiki, i tak właśnie było w moim przypadku. Przeczytałem ją trzykrotnie, aby dobrze opanować zawarty w niej materiał, to nie mało, lecz był to mój pierwszy mój z nią kontakt, więc jest to raczej naturalna tego konsekwencja.
Skład książki został wykonany starannie, bo w 𝐿𝑎𝑇𝑒𝑋-ie, co wygląda bardzo estetycznie, w porównaniu do składu w MS Word, choć zastosowana czcionka TeX Gyre Pagella nie jest jego czcionką domyślną. Nawet skomplikowana dla dłuższych formuł, dwuwymiarowa notacja G. Freggego, podana jako jeden z przykładów notacji logicznej, wykonana jest bez jakichkolwiek niedoróbek.
Na prawie 300 stronach autor zawarł materiał związany nie tylko z logiką klasyczną (formalną), czyli rachunkiem zdań, rachunkiem predykatów, metalogiką, wnioskowaniem (dedukcyjnym i indukcyjnym) i sylogistyką (nazwy i pojęcia, definicje), ale również z logikami nieklasycznymi (trójwartościową Łukasiewicza Ł₃, intuicjonistyczną i modalną) oraz elementami teorii mnogości (kolektywy i zbiory, teoria relacji i jej zastosowania). Mając styczność, choć powierzchowną na chwilę obecną, z innymi podręcznikami do logiki, również typowo matematycznej odmianie, dobór materiału w niniejszej książce uważam, za trafny, i skłaniałbym się ku temu, zapewne wbrew intencjom jej autora, że nie jest on typowy tylko dla filozofów, tutaj udało się zachować autorowi balans pomiędzy ścisłością (formalizmem), a opisem słownym prezentowano materiału.
Poniżej zrecenzuję pokrótce każde z wymienionych powyżej zagadnień przedstawionych w książce, zachowując tytuły i kolejność rozdziałów.
Książka zaczyna się wstępem („Jak i po co uczyć się logiki?”), gdzie autor przedstawia główne założenia i zastosowania logiki klasycznej, oraz, dość przekonująco, uzasadnia dlaczego warto znać chociażby jej podstawy.
Klasyczny rachunek zdań (rozdział o tym samym tytule), będący fundamentem logiki klasycznej wyłożony został bardzo przystępnie, głównie ze względu na szczegółowe omówienie funktorów (spójników) zmiennych zdaniowych, a wyjątkowo dokładnie implikacji materialnej, choć tutaj trochę zabrakło autorowi konsekwencji w użytej terminologii/nomenklatury, o czym wspomnę à propos wypunktowania zaistniałych w książce błędów. Uważam, że największą bolączką podręczników logiki jest, nierzadko, mało przystępne i nieintuicyjne wyłożenie zagadnień związanych z funktorami logicznymi, przy jednoczesnym zachowaniu możliwej ścisłości. Dotyczy to szczególnie spójnika implikacji, który jest najbardziej problematycznym do zrozumienia w początkowych etapach nauki logiki, czego powodem jest narzucanie związku treściowego pomiędzy zdaniami nim połączonymi z tym występującym w języku naturalnym (potocznym), zapominając, że język logiki jest językiem sztucznym, a jej spójniki traktować należy wyłącznie ekstensjonalnie – nie interesuje nas bowiem treść połączonych nimi zdań, a jedynie ich wartość logiczna (prawda lub fałsz). Tym samym implikacja materialna języka logiki rozszerza implikację warunkową języka naturalnego, z naddatkiem połączeń zdań niedorzecznych, z punktu widzenia tego drugiego. Ponadto nie jest ona procesem i/lub metodą wnioskowania, choć implikacje wchodzą w skład większości metod dowodzenia twierdzeń. O tym wszystkim autor napisał. Semantyczna (założeniowa/zero-jedynkowa) wersja rachunku zdań przedstawiona jest bez zarzutu i opatrzona wieloma przykładami zero-jedynkowego sprawdzania wartości logicznych formuł. W syntaktycznej wersji rachunku zdań za aksjomaty, łącznie piętnaście, przyjęte zostały te w ujęciu Hilberta-Bernaysa, które zawierają spójnik negacji oraz wszystkie spójniki dwuargumentowe (implikacja, koniunkcja, alternatywa, równoważność) z wyłączeniem binegacji i dysjunkcji. Nie zabrakło również omówienia, krótszych systemów aksjomatycznych – alternatywno-negacyjnej Russella-Whiteheada (cztery aksjomaty) oraz implikacyjno-negacyjnej Łukasiewicza (trzy aksjomaty). Choć mój wybór padłby nad przyjęcie za główny system aksjomayczny ostatni z w/w, ponieważ zawiera tylko trzy aksjomaty oraz dwa funktory – negację i implikację. Na końcu tego rozdziału, choć w zadaniach, autor umieścił równoważną wobec powyższych systemów, dysjunkcyjną aksjomat(ykę) Nicoda (w wersji uproszczonej przez J. Łukasiewicza), która zawiera tylko jeden (!) aksjomat i tylko jeden (!) spójnik dwuargumentowy – dysjunkcję, ale, niestety, aż cztery zmienne zdaniowe. Co ciekawe, autor przedstawił również system dedukcji naturalnej Gentzena-Jaśkowskiego, który nie posiada żadnych aksjomatów, lecz wyłącznie reguły inferencji, w tym przypadku zależność pomiędzy ilością aksjomatów, a ilością reguł inferencji jest odwrotnie proporcjonalna – coś za coś. Głównym zastrzeżeniem w tym rozdziale jest skąpy opis najważniejszej, metajęzykowej reguły wnioskowania (inferencji) – reguły odrywania dla implikacji, autor nie wspomina, że jest ona regułą niezawodną (tautologiczną), czyli że odpowiada ona jednej z wymienionej wcześniej językowej tautologii 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑠 (o czym wspomina dopiero w ostatnim rozdziale książki) i powinna być przedstawiona w postaci „twierdzenia o dedukcji”. Poza tym przedstawienie jej w postaci sylogistycznej, czyli przesłanki-kreska pozioma-wniosek), spowodowało, że początkowo nie wiedziałem jak poprawnie zapisać ją w postaci formuły rachunku zdań, a wystarczyłoby ową formułę, [α ∧ (α⇒β)] ⇒ β, wpisać pod jej schematem sylogistycznym. Szczegółowe, a jednocześnie bardzo przystępne omówienie syntaktycznej wersji klasycznego rachunku zdań uważam za największą zaletę tego podręcznika. Za trafny zabieg dydaktyczny uważam zaniechanie wplatania pojęć teoriomnogościowych, takich jak zbiór, należenie do zbioru, zawieranie się w zbiorze (inkluzja), dziedzina/przeciwdziedzina, funkcja wartościująca, iloczyn kartezjański, w rozdziały traktujące o rachunku zdań i rachunku predykatów, co jest częste w podręcznikach do logiki i w mojej opinii raczej niepotrzebne, bo psuje to jasność wykładu, choć oczywiście zdaję sobie sprawę, że zagadnienia te wzajemnie uzupełniają się. Powyższe pojęcia słusznie zostały omówione odrębnie w rozdziale poświęconym teorii mnogości. Podsumowując – jasne, ale i możliwie obszerne wyłożenie klasycznego rachunku zdań jest najważniejszym czynnikiem stanowiącym o możliwości kompleksowego zrozumienia podstaw logiki i jej działów nad nim nadbudowanych, i to autorowi udało się.
Rachunek predykatów został wyłożony nie mniej przystępnie, choć pod względem objętości raczej standardowo. „Na plus” zaliczyć należy umieszczenie tabeli tautologii kwantyfikatorów dla predykatów jedno- i dwuargumentowych wraz z ich omówieniem. Rozdział ten umieszczony został w 6. części książki, a powinien w 3., zaraz po Rozdziale 2 (Klasyczny rachunek zdań), aby zachować większą spójność i chronologię podręcznika.
Zagadnienia metalogiczne (Rozdział 3.) zostały przedstawione wyłącznie słownie, są tutaj takie zagadnienia jak: metajęzyk, wartościowanie zmiennych, spełnianie, niezależność aksjomatów, niesprzeczność, pełność syntaktyczna, zupełność (w sensie Posta) i rozstrzygalność. Nie mniej jednak brakuje podstawowych zagadnień dotyczących teorii modeli, m. in. takich jak model i interpretacja, jak ma to miejsce w książce „Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych” A. Tarskiego, a które dotyczą semantycznych zagadnień logiki. Bardzo wskazane byłoby umieszczenie w tym rozdziale, chociażby słownego, zdefiniowania najważniejszych twierdzeń metalogicznych KRZ i KRP (w postaci formalnej, bez dowodu), w tym tych limitacyjnych, których treść nie jest wcale trudna i nazbyt abstrakcyjna (niektóre z nich znalazły się w książce - oznaczę je "*"), a brzmi:
• twierdzenie o pełności funkcjonalnej KRZ: istnieją zestawienia funktorów logicznych, za pomocą których można zdefiniować wszystkie pozostałe funktory logiczne KRZ*
• twierdzenie o postaciach normalnych KRZ: każda formuła 𝐹 jest równoważna formule w tzw. koniunkcyjnej postaci normalnej i alternatywnej postaci normalnej*
• twierdzenie o pełności syntaktycznej KRZ: zbór tautologii 𝑇 jest równy zbiorowi konsekwencji aksjomatów 𝐴, tj. 𝑇 = 𝐶𝑛(𝐴)*
• twierdzenie (wersja Gödla) o pełności syntaktycznej KRZ: teoria 𝑇 jest niesprzeczna tylko wtedy, gdy posiada model przeliczalny
• twierdzenie o dedukcji (wprost) dla KRZ i KRP: [𝐹 ⊢ (α ⇒ β)] ⇔ [𝐹 ∪ {α} ⊢ β]
• twierdzenie o niesprzeczności (semantycznej) KRZ: zbiór formuł 𝐹 jest semantycznie niesprzeczny tylko wtedy, gdy istnieje wartościowanie, dla którego wszystkie formuły tego zbioru przyjmują wartość prawdy*
• twierdzenie o rozstrzygalności KRZ: istnieje algorytmy pozwalający, w skończonej liczbie prostych, mechanicznych kroków, ustalić czy dowolna formuła 𝐹 jest lub nie jest tautologią KRZ*
• twierdzenie o zupełności (w sensie Posta) KRZ: dowolny zbiór formuł F jest zupełny tylko wtedy, gdy dla dowolnej formuły (𝐹 ⊢ α) lub (𝐹 ⊢ ¬α)
• twierdzenie o zwartości KRZ:
- wersja syntaktyczna: zbiór formuł 𝐹 jest niesprzeczny tylko wtedy, gdy każdy jego podzbiór skończony jest niesprzeczny
- wersja semantyczna: zbiór formuł 𝐹 ma model tylko wtedy, gdy każdy jego podzbiór skończony posiada model
• twierdzenie o maksymalności KRZ: KRZ posiada własność maksymalności jeśli jest zupełny w sensie Posta
• lematu Lindenbauma: każda niesprzeczna teoria 𝑇 posiada niesprzeczne rozszerzenie zupełne
• twierdzenia Herbrandta, Robinsona, Craiga, Betha
• twierdzenia Churcha o nierozstrzygalności rachunku predykatów pierwszego rzędu (KRP): klasyczny rachunek predykatów pierwszego rzędu jest nierozstrzygalny
• I twierdzenie Gödla – o niezupełności arytmetyki Peana (KRP): każda niesprzeczna teoria 𝑇 zawierająca arytmetykę liczb naturalnych jest istotnie niezupełna, tzn. istnieją zdania w niej nierozstrzygalne, własność tą posiada również każde niesprzeczne rozszerzenie teorii 𝑇
• twierdzenie Rossera o niezupełności arytmetyki Peana (KRP): jeśli maszyna Löba, zawierająca arytmetykę Peana, może dowieść, że zdanie 𝑃 jest dowodliwe, to zdanie 𝑃 jest prawdziwe i jest w niej możliwe do dowiedzenia
• II twierdzenie Gödla – o niedowodliwości niesprzeczności arytmetyki Peana w niej samej (KRP): w każdej niesprzecznej teorii 𝑇 zawierającej arytmetykę liczb naturalnych nie można dowieść jej własnej niesprzeczności − wymaga to środków silniejszych niż teoria 𝑇
• twierdzenia Tarskiego o niedefiniowalności pojęcia prawdy (KRZ i KRP): jeśli teoria 𝑇 jest niesprzeczna, to nie istnieje w niej definicja prawdziwości, tzn. zbiór zdań prawdziwych teorii 𝑇 nie jest definiowalny w 𝑇
• twierdzenie Löba (KRP): każde dwa zdania Henkina (stwierdzające swoją własną dowodliwość) są równoważne w arytmetyce Peana
• twierdzenia Löwenheima-Skolema (KRP): teoria 𝑇 pierwszego rzędu posiada model przeliczalny tylko wtedy, gdy posiada model dowolnej mocy nieskończonej.
Skąpo i mało przystępnie przedstawione zostały w tym fragmencie książki postacie reguł wnioskowania – normalnej i niezawodnej, co poza tym powinno umieszczone być w rozdziale dotyczącym KRZ. Na pochwałę zasługuje natomiast fragment omawiający sprawdzanie niezależności poszczególnych aksjomatów sytemu, na przykładzie przyjętej Hilberta-Bernaysa aksjomatyki KRZ, choć można byłoby to zrobić nieco bardziej przystępnie.
Nie odniosę się natomiast rozdziału „Nazwy i pojęcia”, z mojego, „niehumanistycznego” punktu widzenia, jest on zupełnie zbędny, są to zagadnienia skierowane prawie wyłącznie dla humanistów.
Rozdział „Kolektywy i zbiory” zawiera charakterystykę elementarnych pojęć nieaksjomatycznej (tzw. naiwnej) teorii mnogości. Na pewno pomocny okazać się on może przy okazji nauki podstaw matematyki na kierunkach filozoficznych (chyba taki przedmiot tam mają?!). Rozdział ten kończy się dość dziwnie, bo zagadnieniami klasyfikacji nauk, bardziej odpowiednie byłoby umieszczenie tego fragmentu w rozdziale „Nazwy i pojęcia” lub rozdziale „O rozumowaniach”.
Rozdział „O teorii relacji” jest kontynuacją zagadnień teoriomnogościowych. Pojawia się tutaj charakterystyka takich pojęć jak iloczyn kartezjański, relacja, typy relacji, dziedzina, przeciwdziedzina, klasa abstrakcji, iloczyn względny oraz ważne – izomorfizm (bijekcja) i homomorfizm (funkcja). Uważam, że w rozdziale tym zabrakło umieszczenia i charakterystyki słownej teoriomnogościowych aksjomatów Zermela-Fraenkla (+ aksjomat wyboru), które są dzisiaj standardowym systemem aksjomatycznej teorii mnogości i podstawą całej matematyki.
Za niepotrzebny uważam rozdział „Zastosowanie teorii relacji”, nie ma tam nic istotnego, i co nie znalazłoby się w rozdziale poprzednim. Ponadto jest on dziwnym misz-maszem słownej i skąpej charakterystyki teorii modeli (?) oraz teorii informacji. Gdzie tę pierwszą należałoby umieścić w rozdziale „Zagadnienia metalogiczne”.
Kolejny rozdział „Definicje” powinien być, wraz z rozdziałem „Nazwy i pojęcia”, scalony w jeden – zagadnienia te uzupełniają się. Ponadto, jak to już miało miejsce, nie leży on w kręgu moich zainteresowań.
Ostatni rozdział dotyczy szeroko pojętych rozumowań, w tym wnioskowań: dedukcyjnego, redukcyjnego, indukcyjnego oraz przez analogię. W porównaniu do reszty rozdziałów, jest on dość mętny, autor nagle przeskakuje od dedukcji, na przykładzie KRZ, do indukcji na przykładzie KRP, sama indukcja i jej rodzaje – enumeracyjna i nieskończona, również nie grzeszy przejrzystością wyjaśnienia.
Przedostatnią częścią książki są dodatki – A i B. Pierwszy zawiera zagadnienia kategorii znaczeniowych, i również, połączyłbym go z rozdziałem „Nazwy i pojęcia”, które uzupełniają się. Dodatek B to noty biograficzne, w dobie internetu zupełnie niepotrzebne.
Książka kończy się tekstami – A i B. Pierwszy to przetłumaczony fragment tekstu Lewisa Carolla „Co żółw powiedział Achillesowi” oraz fragment monografii „Elementy logiki matematycznej” J. Łukasiewicza, i z którą miałem, raczej wątpliwą, przyjemność zapoznać się. Pojęcia nie mam jaki cel przyświecał autorowi w umieszczeniu ich, szczególnie pierwszego w książce, nie wnosi on do niej nic, co byłoby potrzebne do nauki logiki, na szczęście zawiera niecałe pięć stron. Co do drugiego tekstu można już dyskutować, choć i bez niego książka nie straciłaby nic na swojej wartości.
Ponadto autorowi nie udało się, niestety, uniknąć kilkunastu błędów:
• notoryczne używanie niepoprawnego językowo zwrotu „… wtedy i tylko wtedy, gdy…” – nie rozumiem dlaczego w prawie każdej książce do matematyki i logiki używane jest to niepoprawne sformułowanie, to analogiczny przykład do sformułowania „cofnij się do tyłu”, a przecież wystarczy napisać: „… tylko wtedy, gdy…” i oznacza to dokładnie to samo, bez dublowania słowa „wtedy”
• str. 20., 2. wiersz od dołu – jest: „… komputerów elektrycznych…”powinno być: „… komputerów elektronicznych…”
• str. 39., 2-1. wiersz od dołu – jest: „… [implikacja] nie oznacza żadnego wynikania…”, a na str. 40/41 – jest: „… ze zdania fałszywego wynika dowolne zdanie…”
• str. 40., 6. wiersz od góry – jest: „…, nie uznajemy za prawdziwe połączenie prawdziwego następnika z fałszywym poprzednikiem…” – powinno być: „…, uznajemy za prawdziwe połączenie prawdziwego następnika z fałszywym poprzednikiem…”
• str. 40., 11. wiersz od góry – jest: „… uznane na mocy definicji ekstensjonalnego funktora implikacji akceptują wszystkie… wnioskowania…” – powinno być: „… uznane na mocy definicji ekstensjonalnego funktora implikacji akceptują wszystkie… wynikania…”
• str. 43., 7. wiersz od dołu – jest: „… funktorów zdaniotwórczych od argumentów nazwowych…” – powinno być: „… funktorów zdaniotwórczych od argumentów zdaniowych…”
• str. 46., 7. wiersz od dołu – jest: „…, że wszystkie funktory jednoargumentowe da się zastąpić negacją bądź negacją lub alternatywą…” – powinno być: „…, że wszystkie funktory dwuargumentowe da się zastąpić negacją bądź negacją lub alternatywą…”
• str. 50., 3. wiersz od góry – jest: „…, zawiera trzy stałe logiczne (negację, alternatywę i implikację)…” – powinno być: „…, zawiera pięć stałych logicznych (negację, alternatywę, koniunkcję, implikację i równoważność)…”
• str. 52., 10. wiersz od dołu – jest: „Na podstawie reguły odrywania uznajemy poprzednik implikacji, o ile uprzednio uznaliśmy całą całą implikację i jej poprzednik.” – powinno być: „Na podstawie reguły odrywania uznajemy następnik implikacji, o ile uprzednio uznaliśmy całą całą implikację i jej poprzednik.”
• str. 57., 5. wiersz od dołu – jest: „𝘗⇒(~𝑝⇒𝑞).” – powinno być: „𝑝⇒(~𝑝⇒𝑞).”
• str. 63., 11. i 14. wiersz od góry – jest: „… Peany…” – powinno być: „… Peana…”
• str. 75., 3. wiersz od góry – jest: „… jest nienormalna…” – powinno być: „… nie jest normalna…”
• str. 76 i 77., autor pisze, że „… pełność KRZ osłabia się do pełności semantycznej (to, co prawdziwe da się dowieść)…”, nie jest to prawda, ponieważ w praktyce logicznej postępuje się odwrotnie, z pełności syntaktycznej, tzn. 𝑇 = 𝐶𝑛(𝐴) automatycznie wynika (formalnie – jest równoważna) pełność semantyczna, tj. (𝐹 ⊢ α) ⇔ (𝐹 ⊨ α).
• str. 102., 20. wiersz od dołu – jest: „… nietautologie…” – powinno być: „… kontrtautologie…”
• str. 136., 12. wiersz od dołu – jest: „… ∃ₓ𝑃(𝑥)…” – powinno być: „… ∀ₓ𝑃(𝑥)…”
• str. 179., 3-4. wiersz od dołu – jest: „… pierwsza współrzędna (rzędna), zaś druga współrzędna (odcięta)…” – powinno być: „… pierwsza współrzędna (odcięta), zaś druga współrzędna (rzędna)…”
• str. 183., 10. wiersz od góry – jest: „… 𝘋′𝑅…” – powinno być: „… Ď′𝑅…”
• str. 240., 2-5 wiersz od góry jest: „… w przypadku dedukcyjnym uznajemy jeszcze jej poprzednik, a odrywamy następnik, natomiast w przypadku redukcyjnym uznajemy następnik, a odrywamy poprzednik.” – powinno być: „… w przypadku dedukcyjnym uznajemy jeszcze jej następnik, a odrywamy poprzednik, natomiast w przypadku redukcyjnym uznajemy poprzednik, a odrywamy następnik.”.
Nie podoba mi się również treść niektórych przykładów i zadań, np. nawiązujących do ustrojów politycznych, gdzie autor wyraża, choć subtelnie, swoje silnie prawicowe poglądy polityczne, oraz religijność – w nocie biograficznej K. Gödla umieszcza informację, że podał on dowód ontologiczny istnienia boga – czy naprawdę jest to Jego najważniejsze osiągnięcie w logice formalnej?! Poza tym umieszcza przykłady zadań z treścią o paleniu czarownic, rzucaniu uroków na bydło sołtysa oraz niedorozwoju umysłowym dzieci. Tego typu treści są, co najmniej, niestosowne, szczególnie w książce do logiki.
Jak już wspomniałem –w książce na pewno da odczuć się brak podania, przynajmniej słownej, charakterystyki, względnie też formuł i dowodów najważniejszych twierdzeń (meta)logicznych, które zostały wymienione powyżej, a także elementarnych zagadnień teorii modeli.
Podsumowując – zdecydowałem się na tak długą recenzję ponieważ książka ta jest pierwszym przeczytanym przeze mnie podręcznikiem przeznaczonym do nauki logiki formalnej, i tym samym wyznacza mi ona pewien punkt odniesienia wobec reszty podręczników logiki, które obecnie czytam i przeczytać zamierzam. Czy udało mi się dzięki niej poznać podstawy logiki formalnej? Zdecydowanie. Czy polecam ją jako pierwszą książkę do nauki logiki? Bez wątpienia tak, choć może niekoniecznie prawnikom, bardziej już filozofom, a na pewno „ścisłowcom” – choć Ci mogą czuć po jej przestudiowaniu pewien „niedosyt formalny”. Dzięki niej będę mógł pogłębiać arkana tej nauki, ale już w typowo matematycznej odmianie, studiując pozycje obszerniejsze (A. Rutkowski, J. Słupecki, Z. Adamowicz/P. Zbierski, T. Batóg, K. Trzęsicki, L. Borkowski, A. Grzegorczyk i W. A. Pogorzelski), przechodząc kolejno do metamatematyki (R. Murawski, A. Grzegorczyk, W. A. Pogorzelski), teorii modeli (A. Grzegorczyk. W.A. Pogorzelski, A. Piękosz), kończąc na teorii mnogości (H. Rasiowa, B. Grell, P. Guzicki/W. Zakrzewski, K. Kuratowski/A. S. Mostowski, A. Błaszczyk/S. Turek), ta ostatnia jest dla mnie najbardziej abstrakcyjna, a tym samym trudna. Mimo niewielkich wad – niestosowna treść części zadań, kilka niepotrzebnych rozdziałów, rozmieszczenie w niektórych z nich treści, manifestowanie religijności/sympatii politycznych, kilkanaście błędów oraz brak wspomnianych formuł i dowodów najważniejszych twierdzeń (meta)logicznych, w żadnym wypadku nie przekreślają tej wartościowej książki, a trafnie dobrany materiał czyni ją atrakcyjnym podręcznikiem do początkowego etapu nauki logiki klasycznej.

Książka ta jest pierwszym podręcznikiem, poprzez który zetknąłem się logiką i jako taki, w zamierzeniu autora, przeznaczony jest głównie dla studentów kierunków humanistycznych, choć jak sam zaznaczył – nie chciał powielać istniejących już na rynku podręczników. Wybór jej na pierwszą lekturę podyktowany został względami raczej pragmatycznymi, aniżeli opiniami czy rankingami...

Recenzję zacznę od tego, że tytuł książki nie odzwierciedla w pełni jej rzeczywistej treści, ponieważ to historia formalizacji matematyki jest tematem przewodnim, a w mniejszym stopniu kierunki jej filozofii, które były tego jedną z konsekwencji. Jest to dla mnie pozytywne zaskoczenie, ponieważ pozycji poruszających tą konkretnie tematykę, przynajmniej na polskim rynku wydawniczym nie ma prawie w ogóle. Przedstawionemu chronologicznie rysowi historycznemu towarzyszy charakterystyka aksjomatyki poszczególnych dziedzin matematyki na przykładach, kolejno: postulatów w "Elementach" Euklidesa, aksjomatów arytmetyki liczb naturalnych Peana, aksjomatów geometrii Hilberta, aksjomatów teoriomnogościowych Zermela-Fraenkla, aksjomatów arytmetyki liczb rzeczywistych Hilberta-Tarskiego i limitacyjnych twierdzeń Gödla, czyli tych najbardziej znamiennych dzieł/prac z zakresu jej podstaw. Do wad książki zaliczyć można nazbyt krytyczne odnoszenie się autora do, (prób) aksjomatyzacji w, 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜, przełomowych pracach Euklidesa, R. Dedekinda, B. Bolzano, G. Cantora, D. Hilberta, trudno bowiem oczekiwać, żeby system euklidesowych postulatów w „Elementach”, napisanych ponad 2300 lat temu, był skonstruowany przy użyciu logiki matematycznej (która tak naprawdę rozwinęła się dopiero na przełomie XIX/XX wieku), niesprzeczny i zupełny, a określenie prac R. Dedekinda jako „swobodną twórczość ludzkiego ducha” jest sporym nadużyciem, bo czym zasłużył się on w porównaniu do niego w zakresie budowania podstaw matematyki. Niestety, w treści zabrakło, chociaż krótkich, streszczeń prac G. Fregego, J. von Neumanna oraz charakterystyki innych twierdzeń limitacyjnych: Löwenheima-Skolema (plus paradoks Skolema), Tarskiego (o niedefiniowalności pojęcia prawdy) i Churcha, a także szerszego omówienia prac G. Boole'a, Russella-Whiteheada.
Reasumując, jest to wyjątkowo ciekawa pozycja ukazująca rozwój aksjomatycznych metod (podstaw) matematyki, na przestrzeni dwudziestu trzech wieków jej historii, w oparciu o najważniejsze w tym zakresie prace. Polecam ją wszystkim ścisłowcom, a szczególnie tym, który myślą, że "matematyka to niewzruszona konstrukcja z granitu, a nie ciągle rozwijający się organizm" (Z. Pogoda), co najdobitniej uzmysławia ostatni, najlepszy rozdział książki, tzw. „humanistom” również, choć na pewno niewiele z niej zrozumieją.

Recenzję zacznę od tego, że tytuł książki nie odzwierciedla w pełni jej rzeczywistej treści, ponieważ to historia formalizacji matematyki jest tematem przewodnim, a w mniejszym stopniu kierunki jej filozofii, które były tego jedną z konsekwencji. Jest to dla mnie pozytywne zaskoczenie, ponieważ pozycji poruszających tą konkretnie tematykę, przynajmniej na polskim rynku...