Jesteśmy społecznością, która kocha książki

Książka J. Barrowa dotyczy szeroko pojętej matematyki, i bynajmniej nie mam tu na myśli tego, że jest to podręcznik do jej nauki. Jest to pozycja typowo popularnonaukowa, zawierająca wiele zagadnień bezpośrednio z nią związanych, które przedstawione są w sześciu rozdziałach.
Pierwszy znihc („Od misterium do historii”) dotyczy ogólnej refleksji nad matematyką jako nauką formalną, nie jest on specjalnie ciekawy, ponadto jest niezbyt spójny, więc można go po prostu pominąć.
Rozdział drugi („Kont(r)kultura rachunków, czyli kultura rachunków”) dość szczegółowo opisuje jak na przestrzeni wieków rozwijały się systemy liczbowe i sama czynność liczenia, jest on ciekawy, ponieważ łączy w sobie aspekty historyczne, kulturowe i antropologiczne, nie da się nie odczuć, że autor musiał zadać sobie niemałą ilość trudu, aby zgłębić dostępną w tym zakresie literaturę naukową i spójnie ją w nim przedstawić, jest to jeden z trzech najlepszych rozdziałów tej książki.
Trzeci rozdział („Forma bez treści”) zaczyna się od charakterystyki jednego z pierwszych programów programu unifikacji matematyki – logicyzmu, zakładający sprowadzenie jej do logiki, którego autorami byli G. Frege, B. Russell i A. N. Whitehead. Najobszerniejsza jego treść dotyczy tła historycznego programu D. Hilberta - formalizmu, który miał na celu unifikację, poprzez całkowitą aksjomatyzację matematyki klasycznej, dowodząc niesprzeczności arytmetyki liczb naturalnych, i z niej wyprowadzić wszystkie inne jej działy, przy użyciu metod wyłącznie finitystycznych. Warto zaznaczyć, że dla D. Hilberta niesprzeczność była warunkiem wystarczającym poprawności danego systemu aksjomatycznego. W odniesieniu do formalizmu, w rozdziale tym nie mogło również zabraknąć obszernego opisu przełomowych prac K. Gödla, w których wykazał on niezupełność arytmetyki liczb naturalnych (w aksjomatyce Peana) i systemów bogatszych, grzebiąc tym samym marzenia D. Hilberta o unifikacji całej matematyki klasycznej, i uświadamiając matematykom, że nie nie da się całkowicie zamknąć jej w niesprzecznych i rozstrzygalnych systemach aksjomatycznych, mimo, iż jak dotąd nie stworzono/odkryto dla nich skuteczniejszych alternatyw. Niesamowicie ciekawie przedstawił autor znamienne, konsekwencje jakie mają dla całej matematyki oraz informatyki (głównie w odniesieniu do możliwości obliczeniowych komputerów i sztucznej inteligencji) twierdzenia Gödla, właśnie ten fragment stanowi zdecydowanie najciekawszą część książki. Rozdział kończy krótki opis badań G. Chaitina w zakresie matematycznej części informatyki, w kontekście wyznaczenia przez niego liczby Ω (stałej Chaitina).
Rozdział czwarty zawiera filozoficzną refleksje na temat matematyki, głównie na podstawie formalizmu D. Hilberta i poważnych konsekwencji twierdzeń Gödla, autor wspomniał również o twierdzeniu Shannona, opisał badania dotyczące poznania (intuicji?) matematycznego człowieka w zależności od jego stadium rozwojowego, na przykładzie eksperymentów psychologicznych J. Piageta i H. Gardnera oraz hipotezy o niealgorytmicznym funkcjonowaniu ludzkiego mózgu, wynikającego z faktu, że człowiek (K. Gödel) potrafił on udowodnić niezupełność arytmetyki liczb naturalnych (I twierdzenie Gödla), co wyznacza granice formalizacji w matematyce, pewną ograniczoność poznawczą systemów aksjomatyczno-dedukcyjnych oraz niewyczerpywalną ilość prawd matematycznych
Rozdział piąty zaczyna się od przedstawienia historii genialnego samouka matematycznego S. Ramanujana. Następnie opisuje rozwój intuicjonizmu matematycznego, rozwijanego głównie przez L. Brouwera, który miał na celu usunięcie z matematyki klasycznej neintuicjonistycznych pojęć, tym samym mocno ją ograniczając (całe szczęście, że paradygmat ten nie zyskał sobie wielu zwolenników…). Kolejno autor omawia przełomowe prace G. Cantora dotyczące teorii mnogości oraz badania P. Cochena, który za pomocą forcingu (pol. wymuszania) udowodnił niezależność hipotezy continuum z powszechnie stosowaną teoriomnogościową aksjomatyką Zermela-Fraenkla (𝑍𝐹), a której niesprzeczność tej hipotezy z 𝑍𝐹 już K. Gödel. Rozdział zawiera również opis historii tejże hipotezy, a także twierdzenia o czterech barwach, które zostało rozwiązane przy użyciu komputera, a dla którego klasyczny dowód matematyczny, nie został jak dotąd podany, fragment ten podejmuje refleksję nad tym, gdzie znajduje granica matematyki, jako aktywności intelektualnej, będącej, domeną 𝐻𝑜𝑚𝑜 𝑆𝑎𝑝𝑖𝑒𝑛𝑠. Oczywiście w tym temacie nie mogło zabraknąć również omówienia prac A. Turinga (w tym hipotezy Churcha-Turinga) dotyczących funkcji nieobliczalnych, i tym samym ograniczonej możliwości obliczeniowej komputerów.
Ostatni, szósty rozdział, traktuje o platonizmie matematycznym (jako obecnie wiodącym kierunku filozoficznym w matematyce), zaczynając od starożytnej Grecji, gdzie ma on swoje korzenie, przechodząc kolejno do poglądów C. Hermite'a i R. Penrose'a. Oprócz filozoficznego konspektu matematyki, na przykładzie platonizmu, scharakteryzowany został również jej aspekt kulturowy i refleksja nad jej wyjątkową skutecznością w opisywaniu otaczającej nas rzeczywistości, a także, na swój sposób, "matematycznego funkcjonowania" nas samych - ludzi.
Całość kończy bardzo bogata bibliografia uświadamiająca czytelnikowi ogrom pracy autora włożony w napisanie tej książki, która wyjątkowo rzetelnie przedstawia problemy nieleżące w zakresie jego aktywności zawodowej jako fizyka i matematyka, choć mocno irytujące są odniesienia do boga (tak wiem, autor jest anglikaninem), sugerujące, choć nie wprost, jego rolę we wszechświecie.
Podsumowując – jest to wyjątkowo ciekawa i cenna książka, poruszająca szeroki zakres najciekawszych zagadnień matematyki - jej historii, odkryć, zastosowań oraz wpływu na naszą cywilizację. Napisana jest w sposób wzbudzający ogromne zainteresowanie i skłaniający do refleksji nie tylko nad matematyką jako nauką, ale i nad światem oraz ludzką naturą. Polecam ścisłowcom i tzw. „humanistom”, bez wyjątku!

Książka J. Barrowa dotyczy szeroko pojętej matematyki, i bynajmniej nie mam tu na myśli tego, że jest to podręcznik do jej nauki. Jest to pozycja typowo popularnonaukowa, zawierająca wiele zagadnień bezpośrednio z nią związanych, które przedstawione są w sześciu rozdziałach.
Pierwszy znihc („Od misterium do historii”) dotyczy ogólnej refleksji nad matematyką jako nauką...