Tak
To jest coś
Biedna konstrukcja człowieczego lęku
Matematyka przyswajana pomaleńku
Tak
To jest coś (*)

Ponieważ matematyka jest unikatową aktywnością człowieka, która przez większość osób zawodowo ją uprawiających uchodzi za wytwór ODKRYWANY nie TWORZONY, stanowi niemałe wyzwanie dla naszych umysłów.
Niewiele jest książek dostępnych po polsku, które pokazują królową nauk zgodnie z jej wewnętrznymi prawidłami, przy okazji w sposób dostępny każdemu chętnemu na jej odkrywanie (przy czym nie jest to również klasyczny podręcznik szkolny czy akademicki).

"Podstawy matematyki" to jedna z takich prób. Od razu na myśli przychodzi porównanie z, legendarną i kanoniczną w założeniu dydaktycznym oraz z podobnym docelowym 'targetem', "Co to jest matematyka" Couranta i Robbinsa.
Choć formalnie autorzy opiniowanej książki nie odwołują się do klasyka przedwojennego (nie pada nawet jego tytuł w bibliografii), to można pracę Stewarta i Talla traktować, jako polemikę z tamtym podejściem do pokazania fundamentów matematyki.
U Couranta i Robbinsa mieliśmy mniej formalny wykład, w którym sporo przykładów, do intuicyjnego rozważania, było geometrycznych. Tam autorzy nie stosowali pełnej składni języka formalnego (aksjomat, definicja, twierdzenie, lemat, dowód,...). To była raczej opowieść o matematycznych strukturach i relacjach podana przez intuicję i rozbudowany język opisowy. W "Podstawach matematyki" z założenia formalizm jest kluczowym składnikiem prowadzenia narracji. Dominuje teoria zbiorów i algebra - cesarskie dziedziny królowej nauki.

Takiej książki jak "Podstawy matematyki" jeszcze nie czytałem. Skala trudności, której dotykami jest ogromna. Są partie, które dostępne powinny być uczniowi liceum, inne zaś wykraczają poza regularny kurs matematyki uniwersyteckiej (superciała, liczby nieskończenie małe, analiza niestandardowa czy aksjomat wyboru).

Centralne pojęcie, które buduje matematykę to ZBIÓR. Wszystko w książce, kręci się właśnie wokół tego pojęcia. Najtrudniejsze partie, które stanowią fundament matematyki, to opis aksjomatycznego i ścisłego wyprowadzenia zbiorów liczbowych (naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych) na stronach 235-369. Właśnie ta środkowa cześć książki, jest tą najbardziej wymagającą uwagi od czytelnika. Kuriozum zawartych tam wywodów to fakt, że dotyczą rzeczy, które intuicyjnie człowiek opanowuje we wczesnym dzieciństwie. Wszyscy wiemy jak dodawać i mnożyć liczby! Jednak formalne twierdzenie o rekurencji i jego dowód (str. 241-243), przez samych autorów uznany jest za najtrudniejszy wywód w całej książce. Jednak on prowadzi zaledwie do zdefiniowania podstawowych działań arytmetycznych. Widać stąd, jak wielka wagę matematycy przywiązują do pełnego zrozumienia problemów, i jak wprost szaleńczo dążą do pełnej ścisłości! Na fundamencie buduje się dalsze struktury (przytoczone w książce analogie z budową domu i wzrostem drzewa pokazują to dobitnie), by mieć pewność ostatecznego sukcesu.

To, co wydało mi się najcenniejsze w narracji, to świadome i pełne troski o czytelnika, prowadzenie przez świat cudów matematyki. Sami autorzy cierpliwie i wciągająco korzystają ze współczesnych metod nauczania matematyki poprzez budowanie samoświadomości procesu poznawczego. Na końcu książki dostajemy przykłady kilku prostych twierdzeń, których dowody zostały rozpisany dokładnie tą metodą dydaktyczną (str. 541-547) . Cały rozdział o dowodzie matematycznym to genialna dawka rozumienia procesu myślenia matematycznego (str. 218-222). Metoda uczenia się matematyki przez budowanie samoświadomości przeszła liczne testy na studentach. Dzięki niej osiągali lepsze wyniki, a badanie przy użyciu urządzenia śledzącego ruchy gałek ocznych, wykazały istotne zmiany w sposobie analizy tekstu (str. 227).

Po własnej lekturze (momentami bardzo wyczerpującej) polecam "Podstawy matematyki" KAŻDEMU. Jednak nie wszystko od razu. Jeśli ktoś nie miał styczności z matematyką wyższą, warto się skupić na genialnych trzech pierwszych rozdziałach (o intuicji i myśleniu matematycznym, zbiorach liczbowych i zbiorach bardziej abstrakcyjnie opisanych), intuicyjnym rozdziale o funkcjach i o dowodzie matematycznym. Jednak warto zawsze mieć z tyłu głowy bardzo istotne uwagi, doświadczonych matematycznie autorów, w stylu (str. 39):

"Doświadczony czytelnik może odczuwać pokusę pominięcia tego rozdziału, zrażony bardzo skromnym poziomem dyskursu. Prosimy, by tego nie robić. Każdy dorosły człowiek budował swoją wiedzę matematyczną na fundamencie prostych jej skrawków, które poznawał już w dzieciństwie. Kiedy próbujemy zrozumieć podstawy matematyki, ważna jest świadomość początków własnego pojmowania matematycznych procesów myślowych."

Tak bardziej formalnie, podzieliłbym książkę na trzy części, które można czytać osobno. W nich zgrupowałbym rozdziały:

• najłatwiejsze (tak na poziomie, co najwyżej 'starej matury') - 1,2,3,5,7
• średnie (dla studentów każdych kierunków, gdzie pojawia się matematyka) - 4,6,11,12,13,14,16
• trudniejsze (po zapoznaniu się i zrozumieniu wywodów łatwiejszych rozdziałów) - 8,9,10,15

Już dla samej pierwszej grupy rozdziałów, warto nabyć książkę. Zwrot kosztu zakupu - gwarantowany. Przyjemność z czytania i obcowania z tak podaną matematyką, ogromna. Każdy rozdział kończą ćwiczenia. Każde zadanie jest, bądź sprawdzeniem rozumienia materiału właśnie zaprezentowanego, bądź twórczym rozwinięciem. Autorzy dają wskazówki, zachęcają do wracania, do spojrzenia na problem pod innym kątem. Trzeba się liczyć, że jak każdy matematyk, będziemy potrzebować kartki, ołówka i kosza na śmieci (dla nietrafionych koncepcji). Pokora, ale i satysfakcja z rozwiązania każdego zdania, gwarantowana!

W przypadku trudniejszych partii autorzy, między formalne wywody, wpletli liczne wstawki tekstu 'ciągłego' (bez wzorów), gdzie jak w didaskaliach sztuki, dostajemy intuicyjne omówienie, czego dotyczył wywód. Stąd, nawet z tych trudnych partii, coś wyciągniemy podczas pierwszej lektury.

Czym są aksjomaty? Dlaczego dowód jest taki ważny? Czemu proces techniczny i pamięciowe opanowanie wzorów to niedobra metoda uczenia się matematyki? Czemu od samego poprawnego wyniku, ważniejszy jest proces dochodzenia do niego? To zaledwie kilka z 'meta pytań', na które Stewart i Tall udzielają odpowiedzi. Chyba w nich tkwi sedno 'niedobrej prasy' matematyki i częstych uprzedzeń w stylu 'nigdy jej nie rozumiałem'. Gwarantuję, że już najłatwiejsze rozdziały, każdego niechętnego dotychczas do królowej nauk, przekonają do złagodzenia swych sądów.

Na poziomie bardziej technicznym, poza rdzeniem - konstrukcją zbiorów liczbowych w oparciu o aksjomaty Peano - dostajemy świetne opisanie podstawowych pojęć teorii mnogości (teorii zbiorów), algebry, analizy i logiki. Są, więc wytłumaczone nieszablonowym językiem pojęcia zbioru, funkcji, odwzorowania, permutacji, grupy, ciała, pierścienia i podstawy logiki formalnej predykatów i kwantyfikatorów. To elementarz dla zawodowych matematyków, który i w życiu codziennym po prostu pomaga opisywać zjawiska, kategoryzować obiekty (np. pod względem symetrii, która jest jednym z fundamentów pięknej twarzy ludzkiej, jak wynika z naszych preferencji psychologicznych).

Pierwsze wydanie "Podstaw matematyki" ukazało się 40 lat temu nadkładem Oxford University Press (OUP). Do drugiego wydania angielskiego z 2015, szybko dostaliśmy polski przekład. Jednak takie książki nie potrzebują aż takiego pośpiechu w tłumaczeniu. Przecież temat pracy nie jest komentarzem do bieżącej polityki. Czasem to się mści. Właściwie w każdej publikacji, gdzie występuje natłok symboli matematycznych, mamy literówki. Warto ich liczbę minimalizować. W sumie udało mi się ich wykryć niewiele (str. 59, 66, 99, 112, 168, 242, 245, 301, 403, 483) . To są błędy polskiego tłumaczenia. Dodatkowo na stronach 71, 153 i 169 są błędy powielone z oryginału. Nie podaję dokładnie, o co chodzi, bo każdy śledzący wywód, znajdzie sam (a to chyba frajda). Opiszę tylko ostatni (str. 483) błąd tłumaczy, według mnie skandaliczny. Nie pojawiło się bowiem w polskim przekładzie całe jedno zdanie, które uniemożliwia poznanie definicji liczb przestępnych. Poza tym niestety Prószyński i S-ka to nie OUP, co widać po samym składzie, który bardziej niż TeXa, przypomina Worda (polecam porównać rozbudowany wzór na str. 394).

"Podstawy matematyki" to dobra kandydatka do zabrania na bezludną wyspę.
Polecam, namawiam, zachęcam. Nigdy nie jest za późno na nowe doznania.

----------
(*) Parafraza początkowych strof "Płonącej żyrafy" Grochowiaka.

Tak
To jest coś
Biedna konstrukcja człowieczego lęku
Matematyka przyswajana pomaleńku
Tak
To jest coś (*)

Ponieważ matematyka jest unikatową aktywnością człowieka, która przez większość osób zawodowo ją uprawiających uchodzi za wytwór ODKRYWANY nie TWORZONY, stanowi niemałe wyzwanie dla naszych umysłów.
Niewiele jest książek dostępnych po polsku, które pokazują królową...