Jesteśmy społecznością, która kocha książki

Niniejsza książka to obszerna, prawie 400-stronicowa pozycja traktująca o rozwoju filozofii matematyki i jej samej od czasów starożytnej Grecji do lat 30. wieku XX, choć nieco więcej jest w niej samej historii matematyki, niż jej filozofii, co akurat uważam za zaletę. Okres starożytnej Grecji opisany został wyjątkowo ciekawie i szczegółowo, autor przedstawił w nim filozofię pitagorejczyków, Platona, Arystotelesa, wraz stworzoną przez niego logiką – sylogistyką, oraz ukazał pierwszą próbę aksjomatyzacji matematyki , konkretnie geometrii, przez Eudoksosa oraz Euklidesa w jego słynnych „Elementach”, jest to chyba najlepszy rozdział tej książki. Następnie przedstawiona jest filozofia matematyki, kolejno R. Descartesa (Kartezjusza) oraz jego kontynuatora G. W. Leibniza, który był protoplastą logicyzmu, który swój gwałtowny rozwój przeżywał na początku wieku XX. Kolejnym rozdziałem jest opis filozofii I. Kanta, którego twórczość 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜, nie wniosła do matematyki prawie nic, ani pod względem rozwoju jej jako nauki formalnej, ani pod względem rozwoju jej filozofii, mimo, iż obydwa przedmioty wykładał on w Albertynie przez 16 semestrów (sic!). I. Kant uznawał aprioryczność geometrii euklidesowej (w odniesieniu do przestrzeni) oraz aprioryczność czasu, ostatecznie poglądy te zostały sfalsyfikowany poprzez odkrycie geometrii nieeuklidesowych (hiperbolicznej, eliptycznej i Reimanna) XIX w. oraz szczególnej teorii względności (dylatacja czasu). Był on, co najwyżej, protoplastą intuicjonizmu, który rozwinął się, na początku wieku XX. Tym samym rozdział opisujący jego filozofię w odniesieniu do matematyki uważam za zupełnie niepotrzebny. Równie ciekawie i obszernie, jak w przypadku okresu greckiego, scharakteryzowany został rozdział traktujący o programie logicyzmu, uwzględniając prace, w zakresie logiki matematycznej, G. Fregego, B. Russella i A. N. Whiteheada oraz teorii mnogości R. Dedekinda, G. Peano, G. Cantora i E. Zermelo, włącznie z konstrukcją aksjomatyki liczb naturalnych zaproponowaną przez czterech ostatnich. Rozdział ten zawiera również opis trudności które stanęły przed logicystami w związku z odkryciem antynomii i prób ich usunięcia (teoria typów w „𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑎 𝑚𝑎𝑡ℎ𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎” B. Russella i A.N. Whiteheada),a także opis badań nad zagadnieniem nieskończoności, głównie na przykładzie prac G. Cantora. Kolejnym rozdziałem jest opis programu D. Hilberta (w duchu formalizmu) unifikacji matematyki, który zrealizować chciał poprzez udowodnienie niesprzeczności arytmetyki liczb naturalnych przy pomocy metod finitystycznych, co automatycznie dowodziłoby niesprzeczności teorii bogatszych. Następny rozdział przedstawia odkrycie przez K. Gödla jego słynnych twierdzeń, które zadały cios marzeniom o unifikacji matematyki zarówno przez logicystów, jak i formalistów, ukazując, że każdy niesprzeczny system aksjomatyczny zawierający arytmetykę liczb naturalnych musi być niezupełny (I twierdzenie Gödla) oraz, że w systemie tym nie da się podać dowodu jego niesprzeczności (II twierdzenie Gödla). Niestety brakuje jakiejkolwiek wzmianki o twierdzeniach limitacyjnych: Löwenheima-Skolema (plus paradoksie Skolema) oraz Tarskiego (o niedefiniowalności pojęcia prawdy),wspomniano zaś o twierdzeniu Churcha. Ostatni rozdział traktuje o intuicjonizmie, którego protoplastą był J. Brouwer, ponadto przedstawiona jest, stworzona przez niego, logika intuicjonistyczna, która różni się od logiki klasycznej, głównie, odrzuceniem prawa wyłączonego środka, prawa podwójnego przeczenia i praw De Morgana. Całość książki kończy się krótkim podsumowaniem rozwoju poszczególnych kierunków filozoficznych matematyki. Niestety brakuje w niej przedstawienia jej rozwoju po latach 30. XX wieku. Interesujące byłoby szersze omówienie prac P. Cohena, który udowodnił niezależność hipotezy continuum z powszechnie przyjmowaną, teoriomnogościową aksjomatyką Zermela-Fraenkla, przy użyciu forsingu (𝑝𝑜𝑙. wymuszania). Warto byłoby również poruszyć w niej zagadnienia teorii kategorii, jako pewnej alternatywy/uzupełnienie wobec teorii mnogości. Aby w pełni zrozumieć typowo formalne fragmenty poszczególnych rozdziałów, bo takie w niej się znajdują, warto znać elementarne zagadnienia logiki formalnej (tzn. klasyczny rachunek zdań oraz klasyczny rachunek predykatów). Reasumując – jest to bardzo ciekawa i wartościowa na polskim rynku pozycja ukazująca historyczny rozwój nie tylko filozofii matematyki, ale i charakterystykę rozwoju podstaw samej matematyki i logiki, nie unikając również podania ich formalizmu, co poszerza jej walory i potencjalnie zwiększa grono odbiorców, choć ta jej część będzie dla tzw. „humanistów” całkowicie niezrozumiała. Książka ta, wraz z analogicznymi pozycjami R. Murawskiego, stanowią dość obszerne źródło traktujące o filozofii matematyki. 𝑃𝑆. przy okazji tej recenzji chciałbym serdecznie podziękować Wydawnictwu OBI za podarowanie (tak, bezpłatne!) niniejszej książki.