Jesteśmy społecznością, która kocha książki

Matematyczne horyzonty Pamięciowo wtłaczana do głów matematyka szkolna, nawet jeśli nie utrwali się ostatecznie jako zło konieczne, to z reguły trafia do przegródki ‘dawno temu wymyślone zasady, które setki lat temu pokryła patyna’. Prostym językiem opowiedzenie o matematyce tak, by pokazać jej żywy wkład w intelektualną przygodę cywilizacji, to wyzwanie. Bo jednak z reguły proste problemy udało się rozwiązać dawno temu. Jest jednak pewien możliwy nurt opowiadania, w którym wybiera się z różnych powodów zagadnienia, dające się co do zasady przedstawić przyjaznym językiem. Po części ten zabieg udał się astronomowi i popularyzatorowi nauki Davidowi Darlingowi i jego uczniowi, geniuszowi matematycznemu Agnijo Banerjee. Podzielili się pracą nad rozdziałami (co dało efekt niejednoznaczny) i opisali w kilkunastu esejach klasy zagadnień, którymi matematyka w ostatnich dekadach żyje, choć część z tej problematyki ma bardzo długą brodę. „Dziwna matematyka. Podróż ku nieskończoności” to taka propozycja ‘matematycznej listy przebojów’. Całość jest trochę nierówna, choć autorzy niemal nie używają wzorów (a to jeszcze nie oznacza, że słowami podaje się proste treści). Wybór dokonany przez autorów miał z jednej strony pokazać praktyczny zakres stosowalności matematyki, jako bardzo ogólnego języka, z drugiej jako wielopoziomową strukturę, której wewnętrzne powiązania czasem zaskakują samych matematyków i po trzecie jako narzędzie zabawy. Przenikanie się różnych struktur, szczególnie geometrycznych (które w ‘planie ogólnym’ dobrze sprawdzają się jako wizualizacje) i algebraicznych (jako ilościowych reprezentacji formalnych) u autorów przybiera postać ciekawej narracji zachęcania czytelnika do świadomego uczestnictwa w kolejnych opowieściach. Tak jest w przypadku dyskusji o wymiarze, w szczególności polecam fantastyczne wytłumaczenie, czemu linie brzegowe wysp ma mapach, to w zasadzie twory miedzy wymiarem 1 a 2, czyli już nie proste, ale jeszcze nie powierzchnie (str. 76-81). I z tego powodu sformułowanie ‘długość granicy między Polską a Niemcami to 467 km’ jest bzdurą (i nie chodzi o trywialny pedantyzm). Podobnie ma się z fantastycznie podanym opisem liczb pierwszych i konstrukcją ogromnych liczb skończonych przy użyciu zwartej notacji. Jest nawet opis pojedynku z 2007, w którym uczestnicy konstruowali takie gigantyczne liczby (str. 227-230). To już są tak duże liczby, że piętrowy wykładnik zapisu eksponencjalnego sięgałby kosmicznych odległości (potęga potęgi potęgi potęgi …). Z kolei rozdział o topologii jest zbyt mało intuicyjny, bo usiany pojęciami dość trudnymi. Do tego, ważny rozdział o nieskończonościach wprawił mnie w zdziwienie i pozostawił kilka znaków zapytania, co pozwalam sobie nieco rozwinąć w przypisie, by nie zanudzać. (*) „Dziwna matematyka” mimo pewnych niedociągnięć, ma ogromny walor. Opowiada o współczesnych problemach matematycznych. Nie sili się na ilościowe wypełnienie stron faktami, raczej skupia się na kilkunastu wybranych zagadnieniach, które są wyjaśniane dość ciekawie. Rozważania o nieskończonych szachach (planszy bez granic),paradoksach (w których polscy logicy brylowali) czy topologicznych konsekwencjach pewnych twierdzeń (które w popularnych wersjach opowiadają o włosach, z których podczas czesania co najmniej jeden musi zawsze pozostać wyprostowany, zmięta mapa położona na takiej samej ale gładkiej, musi zawierać co najmniej jedną lokalizację, która jest w tym samym miejscu na obu mapach – jedna nad drugą, czy o pogodzie na antypodach). Przykładów, które można sobie przeliczyć jest mało (choć pojawia się bardzo prosta i ciekawa konstrukcja szyfru nie do złamania),dominuje pogłębiona opowieść o tym jak matematycy stworzyli ciekawe struktury i relacje. Część z tych osiągnięć wynikała z obserwacji rzeczywistości, część dopiero po czasie dopracowała się praktycznych zastosowań. Ostatni rozdział, bardziej filozoficzny, stanowi próbę uchwycenia wyjątkowości matematyki (str. 255-256): „Ze wszystkich dziedzin ludzkiego poznania tylko matematyka i jej kuzynka, logika, pozwalają na uzyskanie niepodważalnych dowodów. Podobnie jak inni badacze, matematycy także mogą początkowo szukać poszlak – na przykład reguły w geometrii lub schematu wśród liczb – zanim sformułują teorię, która te poszlaki zjednoczy. W przeciwieństwie jednak do innych dziedzin nauki, w matematyce nie ma czegoś takiego, jak nieskończony cykl ulepszania teorii w oparciu o nowe dane. Niezależnie od liczby wyników, które potwierdzają regułę w różnych okolicznościach lub dla różnych wartości, nie zostanie ona przyjęta, dopóki ktoś nie przedstawi ścisłego i pozbawionego błędów dowodu. Możliwość uzyskania takiego dowodu sprawia, że same poszlaki nie robią na matematykach większego wrażenia.” Ten przydługi cytat, to według mnie istota społecznego pomylenia czym matematyka jest (zbiorem tez i ich dowodów),a tym jak jest implementowana (jako zbiór reguł postępowania w konkretnych sytuacjach). Poza tym warto wspomnieć o zupełnie niepopularnym (dalekim od codziennego rozumienia) znaczeniu słowa ‘teoria’ w przytoczonych zdaniach. Darling i Banerjee lawirują między pokazaniem jednoznaczności języka matematyki, a wieloaspektowością jej konsekwencji dla nauk przyrodniczych czy techniki. Książka o dziwach matematyki napisana jest dobrze. Zainteresuje każdego, kto nie ma ‘szkolnej anytmatematycznej traumy na całe życie’, a jedynie być może zniechęcił się. Mimo, że niemal wszystko od strony historyczno-faktograficznej znałem wcześniej, czytało się przyjemnie. Autorzy szukając zainteresowania prezentowaną tematyką u odbiorcy, z reguły dobrze dobierali słowa (poza wspomnianymi wyjątkami) posiłkując się dowcipem i czasem kontrolowanym nieformalnym językiem. Kilkanaście grafik to albo wizualne estetyczne znaki przystankowe, albo ważne dopełnienia tekstu. Zdecydowanie książka warta polecenia. DOBRE – 7/10 ======= * Rozdział 10-ty (str. 187-207) jest niechlujny i mało dydaktyczny. Dobry przykład z nieskończonym hotelem Hilberta popadł w semantyczną sprzeczność (skoro pada słowo ‘w każdym pokoju’, to nawet w nieskończoności oznacza, że nie ma wolnego – str. 195). W rozważaniach o Cantorze (str. 196) zabrakło wspomnienia, że istnieje rozróżnienie na zbiory: ‘równe’ i ‘równoliczne’ (co jako komentarz ułatwiłoby zrozumienie, że zbiór liczb całkowitych pod pewnymi względami jest inny od zbioru liczb naturalnych). No i jest nieprawdą (lapsus ?),że zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych mają tyle samo elementów (skoro chwilę później autorzy słusznie piszą, że miary ich są różne: א zero - alef zero i א jeden – alef jeden). Do tego, przy analizie liczb kardynalnych (str. 202-203) aż prosi się o zobrazowanie problemu intuicyjnie przyswajalną konstrukcją przejścia od zbioru wejściowego, do jego konstrukcji potęgowej (co zawsze oznacza podniesienie o jeden alef). Ostatecznie szkoda, że autorzy nie pokusili się o ciekawe przybliżenie pewnego istnego faktu, z którego wynika współczesne rozumienie nieskończoności. To, że 0,999999….=1 jest konsekwencją wyboru konwencji i sformalizowania pojęcia granicy przez Cauchy’ego i Fouriera, a to jednak nie musiało tak wyglądać.