Jesteśmy społecznością, która kocha książki

Książka bardzo chaotyczna ze względu na całkowite wymieszanie definicji/twierdzeń/równań z przykładami ich zastosowań, te drugie zawierają ponad połowę treści. Również samo rozmieszczenie rozdziałów jest nieudane – wstęp do rachunku prawdopodobieństwa umieszczony został w rozdziale "Wnioskowanie statystyczne", przed zagadnieniami dot. analizy korelacji i regresji.
Podsumowując – nie polecam z powyższych względów.

Książka bardzo chaotyczna ze względu na całkowite wymieszanie definicji/twierdzeń/równań z przykładami ich zastosowań, te drugie zawierają ponad połowę treści. Również samo rozmieszczenie rozdziałów jest nieudane – wstęp do rachunku prawdopodobieństwa umieszczony został w rozdziale "Wnioskowanie statystyczne", przed zagadnieniami dot. analizy korelacji i...

Obszerny i dość wyczerpujący podręcznik do statystyki, przeznaczony bardziej dla ekonomistów (analiza szeregów czasowych, modele ARIMA), mniej matematyków, inżynierów czy psychologów. Oprócz standardowej teorii (rachunek prawdopodobieństwa, statystyka opisowa, statystyka matematyczna), zawiera praktyczne wykorzystanie zawartego w niej materiału w pakiecie 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎. Na pewno jest to jest to najlepszy polskojęzyczny podręcznik statystyki dla ekonomistów – kompletny, obszerny i nowoczesny.
Dla bardziej zainteresowanych tą książką poniżej umieszczam szczegółowy spis treści:

Wstęp
Część I. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Rozdział 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
1.1. Aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa
1.2. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń losowych
1.3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń
1.4. Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa
Zadania
Rozdział 2. Zmienne losowe jednowymiarowe
2.1. Definicja zmiennej losowej
2.2. Zmienne losowe skokowe i zmienne losowe ciągłe
2.3. Parametry zmiennej losowej
2.4. Miary opisujące najważniejsze własności rozkładów
2.5. Skale pomiaru
Zadania
Rozdział 3. Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej
3.1. Rozkład zero-jedynkowy
3.2. Rozkład równomierny dla zmiennej skokowej
3.3. Rozkład dwumianowy
3.4. Rozkład Poissona
3.5. Rozkład hipergeometryczny
Zadania
Rozdział 4. Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej
4.1. Rozkład równomierny
4.2. Rozkład normalny
4.3. Rozkład wykładniczy
4.4. Kalkulator prawdopodobieństwa
Zadania
Rozdział 5. Zmienne losowe wielowymiarowe
5.1. Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej
5.2. Rozkłady brzegowe
5.3. Rozkłady warunkowe i niezależność zmiennych losowych
5.4. Parametry dwuwymiarowej zmiennej losowej
5.5. Funkcje regresji
5.6. Rozkład normalny na płaszczyźnie
Zadania
Rozdział 6. Twierdzenia graniczne
6.1. Wprowadzenie
6.2. Twierdzenia lokalne
6.3. Twierdzenia integralne
6.4. Prawa wielkich liczb
Zadania
Część II. STATYSTYKA OPISOWA
Rozdział 7. Nieparametryczny opis rozkładu w próbie
7.1. Uwagi wprowadzające
7.2. Populacja generalna i próba
7.3. Określenie rozkładu w próbie
7.4. Obraz rozkładu w próbie na podstawie szeregów szczegółowych
7.5. Obraz rozkładu na podstawie szeregów rozdzielczych
7.6. A jak to się robi w programie STATISTICA?
Zadania
Rozdział 8. Parametryczny opis rozkładu w próbie8.1. Momenty w próbie
8.2. Miary położenia dla szeregów szczegółowych
8.3. Miary położenia dla szeregów rozdzielczych
8.4. Miary zmienności dla szeregów szczegółowych
8.5. Miary zmienności dla szeregów rozdzielczych
8.6. Miary asymetrii
8.7. Miary spłaszczenia (koncentracji)
8.8. Obliczanie parametrów rozkładu w programie STATISTICA
Zadania
Część III. STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Rozdział 9. Rozkłady z próby
9.1. Określenie rozkładu z próby
9.2. Pojęcie statystyki
9.3. Podstawowe rozkłady statystyki matematycznej
9.4. Rozkład średniej arytmetycznej z próby
9.5. Rozkład wariancji z próby
Rozdział 10. Estymacja parametrów populacji generalnej
10.1. Estymatory i ich własności
10.2. Metody uzyskiwania estymatorów
10.3. Estymacja przedziałowa
10.4. Estymacja wartości przeciętnej
10.5. Estymacja wariancji i odchylenia standardowego
10.6. Estymacja wskaźnika struktury
10.7. Ustalanie liczności próby
10.8. A jak to się robi w programie STATISTICA?
Zadania
Rozdział 11. Weryfikacja hipotez statystycznych
11.1. Wnioskowanie statystyczne
11.2. Schemat budowy testu istotności
Rozdział 12. Testy statystyczne dla populacji jednowymiarowej
12.1. Testy zgodności
12.2. Testy normalności rozkładu
12.3. Testy dla wartości przeciętnej
12.4. Testy dla wariancji
12.5. Test dla wskaźnika struktury
Zadania
Rozdział 13. Testy statystyczne dla dwóch populacji
13.1. Testy zgodności
13.2. Testy dla wartości przeciętnych
13.3. Testy dla wariancji
13.4. Test dla dwóch wskaźników struktury
Zadania
Rozdział 14. Testy statystyczne dla wielu populacji
14.1. Testy dla wielu wariancji
14.2. Jednoczynnikowa analiza wariancji
14.3. Testy porównań wartości przeciętnych w ANOVA
14.4. Testowanie równości wielu wskaźników struktury
14.5. Testy dla wielu parametrów w programie STATISTICA
Rozdział 15. Badanie współzależności zjawisk
15.1. Test niezależności χ 2
15.2. Korelacja rangowa
15.3. Współczynnik korelacji liniowej
15.4. Korelacja cząstkowa i wieloraka
ZadaniaRozdział 16. Analiza regresji
16.1. Model regresji liniowej
16.2. Estymacja parametrów modelu
16.3. Testowanie istotności parametrów modelu
16.4. Analiza dobroci dopasowania
16.5. Dobór zmiennych objaśniających
16.6. Regresja liniowa w programie STATISTICA
Zadania
Rozdział 17. Klasyczne metody analizy szeregów czasowych
17.1. Składniki szeregu czasowego
17.2. Estymacja tendencji rozwojowej
17.3. Analiza wahań regularnych
17.4. Wyrównywanie wykładnicze
Zadania
Rozdział 18. Elementy teorii procesów stochastycznych
18.1. Procesy stochastyczne i szeregi czasowe
18.2. Procesy ciągłe z czasem dyskretnym
18.3. Charakterystyki procesu stochastycznego
18.4. Procesy autoregresji
18.5. Procesy średniej ruchomej
18.6. Procesy mieszane autoregresji-średniej ruchomej
18.7. Łańcuchy Markowa
Rozdział 19. Prognozowanie na podstawie modeli ARIMA
19.1. Etapy przygotowania modeli do prognozowania
19.2. Identyfikacja
19.3. Estymacja i testowanie
19.4. Podsumowanie
Zadania
Część IV. ŚRODOWISKO UŻYTKOWNIKA W PROGRAMIE STATISTICA
Rozdział 20. Wprowadzenie
20.1. Nawigacja i struktura programu STATISTICA
20.2. Opcje programu
20.3. Wyprowadzanie wyników analiz
Rozdział 21. Pliki z danymi
21.1. Specyfikacja zmiennych i przypadków
21.2. Proste operacje na danych
21.3. Import i eksport danych
Rozdział 22. Przykłady elementarnych analiz
22.1. Statystyki podstawowe i tabele
22.2. Metody nieparametryczne
Rozdział 23. Wykresy
23.1. Tworzenie wykresów
23.2. Modyfikowanie wykresów po utworzeniu
23.3. Eksploracyjne narzędzia graficzne
Rozdział 24. Makra STATISTICA Visual Basic
Literatura
Indeks

Obszerny i dość wyczerpujący podręcznik do statystyki, przeznaczony bardziej dla ekonomistów (analiza szeregów czasowych, modele ARIMA), mniej matematyków, inżynierów czy psychologów. Oprócz standardowej teorii (rachunek prawdopodobieństwa, statystyka opisowa, statystyka matematyczna), zawiera praktyczne wykorzystanie zawartego w niej materiału w pakiecie 𝑆𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎. Na...

Niniejsza książka jest kolejną już pozycją traktującą o historii oraz filozofii logiki i matematyki powstałą z rąk prof. R. Murawskiego, podobnie jak "Szkice z filozofii i historii matematyki i logiki", którą zrecenzowałem. Składa się z 19 prac, za najciekawsze, uważam te dotyczące podstaw matematyki, a konkretnie – twierdzeń limitacyjnych: Gödla, Löwenheima-Skolema oraz Tarskiego. W recenzji „Szkiców z filozofii i historii matematyki i logiki” skupiłem się omówieniu twierdzeń Gödla, natomiast w tej recenzji scharakteryzuję twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności pojęcia prawdy w matematyce, które mówi, że zbiór zdań prawdziwych danej teorii sformalizowanej nie jest definiowalny w jej języku. Oznacza to różnicę pomiędzy jej syntaktyką (czyli dowodliwością), a semantyką (czyli prawdziwością) – widać tutaj duże podobieństwo do treści II twierdzenia Gödla. W języku filozofii można niejako powiedzieć, że prawdziwość transcenduje dowodliwość, czyli jest to zagadnienie epistemologiczne, tzn. czy jest ona pojęciem absolutnym czy względnym lub obiektywnym czy subiektywnym.
Zagłębiając się bardziej w szczegóły formalne, A. Tarski zdefiniował pojęcie prawdy poprzez spełnianie, tj. spełnianie zdania/formuły danej teorii formalnej przez pewne wartościowanie występujących w niej zmiennych, przy zadanej interpretacji terminów pierwotnych jej syntaktyki (składni). Definicja prawdy Tarskiego jest definicją rekurencyjną, tzn. wychodzi od bezpośredniego określenia predykatu prawdziwości dla zdań lub formuł, a następnie definiuje go indukcyjnie. Zastąpienie jej definicją jednoznaczną wymaga przejścia na wyższy poziom w hierarchii języków, czyli konieczność odróżnienia języka, dla którego definiuje się pojęcie prawdy i metajęzyka, w którym pojęcie to definiuje się. Innymi słowy można stwierdzić, że w danym języku formalnym nie można zdefiniować pojęcia prawdy dla tego języka, aby to zrobić należy należy użyć silniejszych środków dowodowych, które wychodzą poza ten język, dotyczy to również samej definicji spełniania. Indukcyjne definiowanie predykatu prawdziwości implikuje wystąpienie nieskończoności przez nieskończone wartościowania ciągów elementów rozważanej dziedziny, jak i w przypadku prawdziwości/spełniania formuł z kwantyfikatorem uniwersalnym, który odwołuje się do ogółu obiektów dziedziny, więc budowanie semantyki danego języka formalnego teorii wymaga metod nieskończonych. Z powyższych rozważań wynika, że syntaktyka jest słabsza od semantyki, czyli, że w matematyce dowodliwość nie jest równoznaczna prawdziwości, ponieważ w danej teorii formalnej istnieją zdania prawdziwe, które nie mogą być dowodliwe (rozstrzygalne) – wspomniana wcześniej analogia do II tw. Gödla, więc pojęcie prawdy zastąpić należy pojęciem modelu. Jak się jednak okazuje teoria może mieć więcej niż jeden model zamierzony (standardowy), a modele te nie są do siebie podobne. Tym samym prawdę należy zrelatywizować do prawdziwości w konkretnym modelu. Na przykład arytmetykę liczb naturalnych 𝔑₀ = ⟨ℕ, 0, 𝑆, +, ⋅⟩ można wzbogacić o predykat spełniania 𝑆 oraz dodać aksjomaty opisujące spełnianie, a tym samym o pojęcie prawdy w tym modelu, choć nie dla każdego modelu arytmetyki daje się określić w nim pojęcie spełniania, ponieważ warunkiem koniecznym jest rekurencyjna nasyconość (por. „Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematyki. Problemy zupełności, rozstrzygalności, twierdzenia Gödla” – R. Murawski). Niestety, w danej teorii pojęcie prawdy i spełniania można określić na wiele wzajemnie sprzecznych sposobów, które czynią fałszywymi nieskończone koniunkcje czy alternatywy prawdziwych, w oczywisty sposób, zdań tej teorii. Powyższe fakty pokazują, że aksjomatyczna charakterystyka prawdy nie jest jednoznaczna i zupełna, a tym samym może być interpretowana na wiele różnych sposobów, a dodane aksjomaty spełniania są za słabe, aby ściśle ją zdefiniować, choć można zastosować znacznie silniejsze, teoriomnogościowe, środki, co wymaga rezygnacji ze skończoności, czyli założenia, że ciągi dowodowe w matematyce mają skończoną długość i odwołują się jedynie do skończonej ilości przesłanek.
W książce znalazłem kilka błędów edytorskich powstałych w trakcie przepisywania prac:
• str. 30., jest: „… Prege…”; powinno być: „… Frege…”
• str. 42., jest: „… P. Bmaysa…”; powinno być: „… P. Bernaysa…”
• str. 77., jest: „… of funkcji obliczalnych…”; powinno być: „… funkcji obliczalnych…”
• str. 90., jest: „… bwoiem…”; powinno być: „… bowiem…”
• str. 100., jest: „… footnote.por…”
• str. 163., jest: „𝑝⇒(𝑝⇒𝑞)”; powinno być: „¬𝑝⇒(𝑝⇒𝑞)” – prawo Dunsa Szkota
• str. 177., jest: „… nie rozwiązane…”; powinno być: „… nierozwiązane…”
• str. 184., jest: „… nie znane…”; powinno być: „… nieznane…”
• str. 255., jest: „…, które są dziś nierozstrzygalne są istotnie nierozstrzygalne czy też nie.”
Podsumowując niniejszą książkę – jest to kolejna już wyjątkowo ciekawa i cenna pozycja na rynku, w której poruszane są niezwykle istotne problemy podstaw matematyki. Łącznie z książką „Szkice z filozofii i historii matematyki i logiki” R. Murawskiego, jest to niemal obowiązkowa pozycja dla osób interesujących się matematyką i logiką. Mam nadzieję, że Autor nie zaprzestanie publikowania swoich prac w postaci książek papierowych.

Niniejsza książka jest kolejną już pozycją traktującą o historii oraz filozofii logiki i matematyki powstałą z rąk prof. R. Murawskiego, podobnie jak "Szkice z filozofii i historii matematyki i logiki", którą zrecenzowałem. Składa się z 19 prac, za najciekawsze, uważam te dotyczące podstaw matematyki, a konkretnie – twierdzeń limitacyjnych: Gödla, Löwenheima-Skolema oraz...

Po książce nie spodziewałem się wiele, ot, myślałem, kolejna książka popularnonaukowa o matematyce „w stylu” Iana Stewarta, która zawierają głównie ciekawostki matematyczne oraz trochę jej historii. Okazało się że jest inaczej, książka opisuje nie tylko eksplikacyjne i predykcyjne funkcje matematyki, ale i również zagrożenia wynikające z nieumiejętnego jej stosowania. Wymaga ona od czytelnika, minimalnej kultury matematycznej (tak uważam, że dobra znajomość matematyki na poziomie powyżej liceum mat.-fiz. to kultura matematyczna), co najmniej na poziomie liceum o profilu mat.-fiz. Tematyka skupia się głównie na rachunku prawdopodobieństwa i statystyce (opisowej). Mimo, iż autor nie jest statystykiem/probabilistą, to wykazał się wyjątkowo poprawną znajomością tej tematyki (jego rodzice są statystykami), podejmując m. in. problemy nieumiejętnego używania matematyki (prawdopodobieństwa i statystyki), głównie, choć nie tylko, przez tzw. „humanistów”, które dotyczą niepoprawnego używania statystyki, tj. wnioskowania statystycznego, czyli: niepoprawnej interpretacji 𝑝-𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒, arbitralnie przyjmowanych poziomów istotności i przedziałów ufności oraz nieumiejętnie dobieranych badanych grup. Najlepszym przykładem może być wytypowanie niewinnego człowieka jako terrorysty na podstawie hipotetycznego algorytmu facebooka, monitorującego przeglądane treści przez jego użytkowników. Treść przepełniona jest wyjątkowo błyskotliwymi anegdotami (o czym poniżej), czasem wręcz politycznie niepoprawnymi, jednak będącymi faktami „płynącymi” z liczb.
Autor opisał równie historię loterii amerykańskich, na których grupa studentów MIT zarobiła miliony dolarów wykorzystując znajomość rachunku prawdopodobieństwa oraz lukę w konstrukcji samej loterii. Co najbardziej zabawne w książce znajduje się informacja:
„Autor oraz Wydawnictwo HELION dołożyli wszelkich starań, by zawarte w tej książce informacje były kompletne i rzetelne. Nie biorą jednak żadnej odpowiedzialności ani za ich wykorzystanie, ani za związane z tym ewentualne naruszenie praw patentowych lub autorskich. Autor oraz Wydawnictwo HELION nie ponoszą również żadnej odpowiedzialności za ewentualne szkody wynikłe z wykorzystania informacji zawartych w książce.”
Bardziej bystry czytelnik od razu zrozumie przekaz.
Przyznać trzeba, że autor ma wyjątkowy talent do pisania o matematyce, nierzadko zdarzało mi się dobrze bawić podczas jej lektury – I. Stewart mógłby się tego uczyć od J. Ellenberga – jest nie tylko bardziej ciekawie, ale i bardziej zabawnie.
Poniżej zacytuję fragmenty z książki, dotyczące samej matematyki jako nauki, które w pamięci utkwiły mi najbardziej:
• „Matematyka jest rozwinięciem zdrowego rozsądku przy użyciu innych środków.”
• „Naukowcy, gdy wiedzą, że nikt nie podsłuchuje, nazywają tę praktykę „torturowaniem danych aż do uzyskania zeznań”. Oczywiście tak uzyskane wyniki mają podobną wiarygodność jak wymuszone zeznania.”
Natomiast najbardziej rozbawiły mnie mnie poniższe fragmenty:
• „Utile sprawdzają się w kwestiach, których nie da się przeliczyć na dolary, takich jak zmarnowany czas lub nieprzyjemny posiłek. Są też jednak przydatne, gdy obiektem wątpliwości jest coś, co da się przeliczyć na dolary – na przykład dolary.”
• „Każdy, kto wstaje i zabiera głos na zgromadzeniu zaczyna od przyznania się, że jest alkoholikiem, niezależnie od tego, czy w to wierzy, czy nie. Potem mówi, jak bardzo jest wdzięczny za to, że dziś nie pił, i jak świetnie jest być aktywnym i udzielać się na zebraniu w grupie, nawet jeśli wcale nie czuje się ani wdzięczny, ani zadowolony. Masz mówić takie rzeczy, dopóki nie zaczniesz w nie wierzyć; wystarczy spytać kogoś z dłuższym stażem niepicia, jak długo będziesz musiał chodzić na te pieprzone spotkania, a on odpowie tym wymownym rozwścieczonym uśmiechem i stwierdzi, że tylko do momentu, gdy zaczniesz chcieć chodzić na te pieprzone spotkania.”
• „… odmówieniem sobie tej onanistycznej satysfakcji z wydawania opinii o prawdziwości lub fałszywości hipotez [statystycznych].”
• „Brzmi to dość dziwnie, ale najwyraźniej istnieje żelazne prawo teorii prawdopodobieństwa, że jeśli trzeba losować różnokolorowe piłki, to muszą one znajdować się w urnie.”
• „Zamiast o nabuzowanych wielbicielach mety [metamfetaminy] pomyśl o będących chlubą Ameryki właścicielach małych firm.”
W książce znalazłem niewiele, bo jedynie pięć błędów:
• str. 121., jest: „… liczby pierwsze bliźniaczeK…”; powinno być: „… liczby pierwsze bliźniacze…”
• str. 320., jest: „… aksjomaty Peano odwołują się tylko do liczb całkowitych…”; powinno być: „…aksjomaty Peana odwołują się tylko do liczb naturalnych…”
• str. 322., jest: „… Russell był „logistą”…”; powinno być: „… Russell był logicystą…”
• str. 323., jest: „… słynnym twierdzeniu [Gödla] o niekompletności…”; powinno być: „… słynnym twierdzeniu [Gödla] o niezupełności…”
• str. 329., jest: „… Gödela…”; powinno być: „… Gödla…”
Choć przeczytałem niewiele książek popularnonaukowych traktujących o matematyce – w moich matematycznych zainteresowaniach znajdują się głównie podręczniki akademickie – to tę książkę uważam za jedną z najlepszych w swojej kategorii. Polecam ją każdemu, nieważne czy interesuje się matematyką, czy wręcz jej nienawidzi. Po jej lekturze na pewno dotrze do czytelnika to, że aby poprawnie wnioskować z liczb i dokonywać rozsądnych wyborów, znajomość matematyki jest bardzo wskazana.
Niestety (choć nie dla mnie!) prawda jest taka, że bez matematyki nie ma niczego, co ludzkie.

Po książce nie spodziewałem się wiele, ot, myślałem, kolejna książka popularnonaukowa o matematyce „w stylu” Iana Stewarta, która zawierają głównie ciekawostki matematyczne oraz trochę jej historii. Okazało się że jest inaczej, książka opisuje nie tylko eksplikacyjne i predykcyjne funkcje matematyki, ale i również zagrożenia wynikające z nieumiejętnego jej stosowania....

Książka niniejsza została napisana przez jednego z najwybitniejszych przedstawicieli lwowsko-warszawskiej szkoły matematycznej – polskiego matematyka i logika Alfreda Tarskiego, który uważany jest za jednego z największych logików wszech czasów, razem z takimi logikami jak Arystoteles, Gottlob Frege i Kurt Gödel. Był on autorem przełomowych prac nie tylko w szeroko pojętej logice formalnej (teorii modeli, metamatematyce), ale również w teorii mnogości, algebrze, geometrii algebraicznej, a nawet filozofii (por. semantyczna teoria prawdy). Zapewne większość osób interesujących się matematyką, nawet hobbystycznie, słyszało o słynnym paradoksie Tarskiego-Banacha, ujawniającym pewną nietypową właściwość teoriomnogościowego aksjomatu wyboru, który niezbędny jest nie tylko w samej teorii mnogości, ale także w analizie (matematycznej) do udowodnienia ważnych twierdzeń, takich jak: Hahna-Banacha, Tichonowa, lematu Urysohna, równoważność definicji ciągłości funkcji Cauchy'ego i Heinego, istnienia liczb mierzalnych w sensie Lebesgue'a.
Jak podkreśla autor nie jest to klasyczny podręcznik akademicki, a bardziej książka popularnonaukowa niejako opowiadająca o logice oraz, w mniejszym stopniu, teorii mnogości, toteż nie ma w niej nadmiernej formalizacji, która została zastąpiona słownym wyjaśnieniem na wielu przykładach, co ma niewątpliwe walory dydaktyczne dla czytelnika, który obeznany z nią nie jest. Doczekała się ona wielu wydań i jeszcze więcej tłumaczeń na różne języki. Mimo zmian w stosunku do swojej pierwotnej wersji, nadal odznacza się nieco archaicznym językiem, co może trochę utrudniać jej lekturę, o czym napiszę w toku dalszej recenzji. Treść składa się z dziesięciu rozdziałów, każdy zakończony jest ćwiczeniami, choć szkoda, że autor nie zawarł odpowiedzi o nich.
Pierwszy rozdział („O użyciu zmiennych”) wyjaśnia podstawowe definicje logiki, takie jak: prawa i twierdzenia logiki, stała, zmienna wolna i związana, nazwa, funkcja (forma) zdaniowa, funkcja (forma) nazwowa, zdanie, kwantyfikatory. Zagadnienia te zostały wyjaśnione poprawnie i przystępnie, jednak uważam, że definicje kwantyfikatorów powinny zostać omówione dopiero w rozdziale traktującym o rachunku predykatów.
Drugi rozdział („O rachunku zdań”) skupia się głównie na charakterystyce najważniejszy spójników logicznych (funktorów od zmiennych zdaniowych), czyli negacji, koniunkcji, równoważności, szczególnie dokładnie zostały omówione alternatywa oraz implikacja. Zauważalną zaletą jest szczegółowe omówienie i rozróżnienie alternatywy na jej dwa rodzaje: wyłączającą i niewyłączająca, oraz uzasadnienie stosowania w logice tej drugiej i porównania jej do tej pierwszej, stosowanej w języku potocznym. Jeszcze bardziej szczegółowo i obszernie scharakteryzowany został spójnik implikacji materialnej, choć momentami nieco chaotycznie, oraz jak w przypadku alternatywy, jego rozróżnienie w stosunku implikacji warunkowej stosowanej w języku potocznym, która traktowana jest w nim intensjonalnie, poprzez narzucanie związku treściowego pomiędzy połączonymi nią zdaniami, co nierzadko jest ogromnym utrapieniem na początkowym etapie nauki logiki. Rozdział ten zawiera również zasady formułowania definicji rachunku zdań, ich symbolikę, tautologie (prawa) oraz zero-jedynkowe (semantyczne) jego ujęcie, również w odniesieniu do stosowania go w dowodach matematycznych, takich jak: dowód nie wprost i dowód zupełny. W opisie tego pierwszego zastosowana została, nie inaczej, tautologia 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑠 𝑡𝑜𝑙𝑙𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑛𝑠, czyli dowodzenie poprzez sprowadzenie do sprzeczności, w opisie tego drugiego zastosowana została reguła odrywania (czyli dedukcja, tautologia 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑠). W rozdziale tym, bez wątpienia zabrakło aksjomatycznego przedstawienia rachunku zdań, omówienia innych reguł inferencji – reguły podstawiania i zastępowania definicyjnego, a także ważnych zagadnień metalogicznych, głównie równoważności ujęcia semantycznego i syntaktycznego (zero-jedynkowego i aksjomatycznego) klasycznego rachunku zdań, czyli 𝑇=𝐶𝑛(𝐴). Niecałe 30 stron przeznaczone na omówienie rachunku zdań uważam za niewystarczające, zważywszy na fakt, że jest to podstawowy i najważniejszy fragment logiki klasycznej. Podsumowując – nie jest to najlepszy rozdział książki.
Trzeci rozdział („O teorii identyczności”) szczegółowo charakteryzuje relację identyczności (równości) i jej prawa, choć niefortunnie została ona nazwana prawem Leibniza. Znalazły się w nim również takie zagadnienia jak rozróżnienie pomiędzy identycznością przedmiotów, a ich oznaczaniem oraz, ponownie i niepotrzebnie kwantyfikatory, tym razem ilościowe. Rozdział ten należałoby włączyć do następnego rozdziału tratującego o teorii mnogości.
Czwarty rozdział („O teorii klas”) ma przestarzałą nazwę, teoria klas obecnie nazywana jest teorią mnogości, a klasy nazywa się zbiorami (rzadziej mnogościami). Omówione zostały w nim: klasa pełna, klasa pusta, relacje między klasami, działania na klasach (tzw. algebra klas), czyli podstawowe zagadnienia nieaksjomatycznej (naiwnej) teorii klas (mnogości), klasy równoliczne i liczba kardynalna.
Piąty rozdział („O teorii relacji”) definiuje pojęcie relacji, dziedzinę, przeciwdziedzinę, typy relacji takie jak: porządkujące, funkcje, funkcje odwracalne i relacje wieloczłonowe. Rozdział, niepotrzebnie, kończy się ni stąd, ni zowąd podpunktem dotyczącym znaczenia logiki dla innych nauk (?!). Jak już wspomniałem, rozdziały II,III i IV powinny być połączone w jeden, o aktualnym tytule „Teoria mnogości”. Byłby to zabieg zwiększający przejrzystość materiału. Przedstawione w nim zagadnienia są raczej wyczerpujące i przystępne, zdecydowanie lepiej niż drugi rozdział („O rachunku zdań”).
Szósty rozdział („O metodzie dedukcyjnej”) podejmuje zagadnienia teorii modeli (choć określenie to w nim nie pada) oraz w mniejszym stopniu zagadnienia metalogiczne. Autor rozpoczyna ten rozdział od rozróżnienia między terminami pierwotnymi teorii, a terminami definiowalnymi za pomocą terminów pierwotnych. Nowo wprowadzonym pojęciem jest interpretacja modelu teorii aksjomatycznej, które sprowadzone jest do konstrukcji modelu dla systemu aksjomatycznego, w którym dane zdanie jest fałszywe. Odwołując się do niezależności tego zdania od przyjętego systemu aksjomatycznego formułowane jest twierdzenie o dedukcji, które mówi, że jeżeli zdanie β jest spełnione w dowolnym modelu danej teorii 𝐴 i jej zdania α, to implikacja α⇒β jest spełniona w dowolnym modelu dla tej teorii. Dzięki temu twierdzeniu można budować różnego typu dowody semantyczne, czyli dowody, polegające na na podaniu interpretacji dla danej teorii, którą konstruując uwzględnia się tylko formalną strukturę tworzących ją aksjomatów, a nie ich sens, a terminy pozalogiczne w nich występujące, nie posiadają ustalonego znaczenia i mogą być interpretowane na wiele sposobów. Następnie autor porusza zagadnienie wyboru aksjomatów, i konkluduje, że wybór ten nie jest z góry narzucony – kryteria ich wyboru mają najczęściej charakter praktyczny oraz dydaktyczny, a nawet estetyczny. Jedynym warunkiem ograniczającym ten wybór, jest wzajemna niezależność aksjomatów oraz wzajemna niedefiniowalność terminów pierwotnych. Ostatnimi zdefiniowanymi w tym rozdziale pojęciami są niesprzeczność i zupełność teorii. Jeśli teoria spełnia te wymagania, to w stosunku do każdego zdania pozwala stwierdzić jednoznacznie, czy zdanie to jest prawdziwe lub fałszywe na gruncie tej teorii, co oczywiście wiąże się z jej rozstrzygalnością, czyli możliwością sprawdzenia dla każdego zdania języka tej teorii, czy istnieje algorytm (mechaniczna procedura), pozwalający stwierdzić, czy jest ono dowodliwe w tej teorii. Przykładami teorii niesprzecznych i zupełnych są klasyczny rachunek zdań oraz geometria elementarna, przykładem teorii niesprzecznej i niezupełnej arytmetyka liczb naturalnych 𝔑₀. Rozdział ten uważam za najciekawszy w całej książce choć zawarte w nim zagadnienia są w nim podane w postaci niesformalizowanej, czyli wyłącznie słownej. Dlatego też poświeciłem mu najwięcej miejsca w tej recenzji. Jest on bardzo wartościowym wstępem do kolejnych rozdziałów, gdzie autor pokazuje krok po kroku, na przykładzie systemu liczb rzeczywistych ℜ, konstrukcje kilku równoważnych jego modeli aksjomatycznych. Jedyne moim zastrzeżenie jakie mam do tego rozdziału to nazwa – powinna ona brzmieć „O teorii modeli” lub „Teoria modeli”. Na koniec dodać należy, że to właśnie w teorii modeli A. Tarski wniósł największy wkład do logiki matematycznej.
Rozdział siódmy („Konstrukcja teorii matematycznej: prawa uporządkowania liczb”) opisuje, na przykładzie systemu arytmetyki liczb rzeczywistych ℜ, zastosowanie wprowadzonych uprzednio terminów pierwotnych i aksjomatów, wraz z przykładami prostych dowodów nie wprost dla niego, udowadniających podstawowe własności relacji między liczbami.
Rozdział ósmy („Konstrukcja teorii matematycznej: prawa dodawania i odejmowania”) jest kontynuacją rozdziału poprzedniego – teoria uzupełniona zostaje o aksjomaty dodawania i odejmowania liczb.
Rozdział dziewiąty („Rozważania metodologiczne dotyczące skonstruowanej teorii”) – autor analizuje niezależność utworzonego zbioru systemu aksjomatów (systemu) i eliminuje te, które da się wyprowadzić z pozostałych i pokazuje, jak należy zastosować do niego postulaty metodologiczne, które sformułowane zostały w rozdziale szóstym, podobnie postępując w stosunku do terminów pierwotnych tej teorii. Całość umożliwia stworzenie trzech niezależnych od siebie systemów aksjomatycznych, które są logicznie równoważne. Różnią się one tym, że pierwsze dwa zawierają mniejszą liczbę terminów pierwotnych (w systemie drugim występuje mniej terminów pierwotnych niż w pierwszym), zaś trzeci zawiera najmniejszą liczbę aksjomatów. Na końcu rozdziału autor bada problem niesprzeczności i zupełności skonstruowanej teorii i dowodzi, że jest ona niezupełna.
Rozdział dziesiąty („Rozszerzenie skonstruowanej teorii: podstawy arytmetyki liczb rzeczywistych”) przedstawia teorię w sposób pełny, co uwidacznia, że stworzone systemy aksjomatyczne różnią się od siebie własnościami metodologicznymi i dydaktycznymi. System pierwszy ma większe walory metodologiczne – jego aksjomaty i terminy pierwotne są od siebie niezależne. System drugi ma większe walory dydaktyczne – jego aksjomaty są bardziej intuicyjne i łatwiej można go rozszerzyć do innych teorii matematycznych.
Teraz trochę o błędach, niefortunnych wyrażeniach, i nieodpowiednim rozmieszczeniu niektórych zagadnień w poszczególnych rozdziałach, które wystąpiły w książce:
• niekonsekwencja w nazywaniu języka naturalnego: język potoczny, codzienny, naturalny, powszechny
• opis kwantyfikatorów przez rozdziałem o rachunku zdań
• niekonsekwencja w nazywaniu kwantyfikatorów: kwantyfikator i operator
• str. 10., jest: „… przybierze wartość…”
• str. 10., jest: „… odnośnymi ćwiczeniami…”
• str. 11., jest: „… nie ruszając zmiennej…”
• str. 21., jest: „… stwierdzenie koniunkcji…”
• str. 22., jest: „… spełnić jedno z tych życzeń…”
• str. 22., jest: „… wygłaszając implikację…”
• str. 24., jest: „… dedukowanie następnika z poprzednika [dla implikacji materialnej]…”
• str. 25., jest: „… konstatujemy implikację…”
• str. 46., jest: „… zamieniwszy…”
• brak omówienia hierarchii języków we fragmencie dotyczącym używania cudzysłowu
• nazywanie zbiorów klasami, a elementów zbioru indywiduami klasy
• str. 72., jest: „… wywierając wszędzie wielce stymulujący i zapładniający wpływ…”
• str. 82., jest: „… warianty prawdziwy-fałszywy roztrząsano nie tylko w dysputach filozoficznych…”
• str. 83., jest: „… algebra klas jako odrębna gałąź teorii klas…”
• str. 84., jest: „… nie-ujemną…”
• str. 84., jest: „… jedno-elementowej…”
• str. 79., jest: „… nie-pustą…”
• str. 79., jest: „… unaocznimy sobie to prawo…”
• str. 80., jest: „… stara logika…”
• str. 80., jest: „… tradycyjna logika…”
• str. 85., jest: „… ugruntowanie całej matematyki jako dział czystej logiki…”
• str. 103., jest: „… relacja zawierania…”; następnie:„… relacja inkluzji…”
• str. 108., jest: „… zrobić założenie…”
• str. 113., jest: „… 𝑧 = 𝑥𝑅𝑦, gdzie 𝑥 jest wynikiem działania 𝑅 wykonanego na 𝑥 i 𝑦.”
• str. 135., jest: „… nie będziemy tutaj roztrząsali…”.
Podsumowanie. Choć książka ma ponad 80 lat, to niewiele straciła ze swoich pewnych zalet dydaktycznych, poza nieco archaicznym językiem i kilkoma powyższymi błędami. W związku z bardzo przeciętnymi rozdziałami I-II, kluczowymi do dobrego wyłożenia logiki, raczej nie jest ona najlepszym wyborem, jako pierwsza książka, do nauki jej podstaw, choć częściowo nadrabia to rozdziałami VI-X, gdzie pokazane jest zastosowanie teorii modeli w praktyce – do konstrukcji niesprzecznej i zupełnej teorii matematycznej (systemu liczb rzeczywistych ℜ), co bez wątpienia ma duże walory dydaktyczne. Chociażby z tego powodu warto po nią sięgnąć, nie mniej jednak to za mało, aby dać jej ocenę wyższą niż 7/10.

Książka niniejsza została napisana przez jednego z najwybitniejszych przedstawicieli lwowsko-warszawskiej szkoły matematycznej – polskiego matematyka i logika Alfreda Tarskiego, który uważany jest za jednego z największych logików wszech czasów, razem z takimi logikami jak Arystoteles, Gottlob Frege i Kurt Gödel. Był on autorem przełomowych prac nie tylko w szeroko pojętej...

Zachęcony pozytywnymi opiniami W. Buszkowskiego i A. Groblera o książce, umieszczonymi w opisie na stronie wydawcy, postanowiłem zasięgnąć jej lektury. Miałem nadzieję znaleźć w niej zagadnienia logiczne, które nie znalazły się w przeczytanym przeze mnie podręczniku logiki (formalnej) – "Logika elementarna" autorstwa R. Piotrowskiego, choć ta dość kompleksowo ujmuje ten przedmiot, zważywszy na fakt, że przeznaczona jest dla studentów kierunków niematematycznych, czyli tzw. "humanistycznych".
Jest to bardziej podręcznik logiki filozoficznej, a dokładniej logiki pragmatycznej i sylogistyki, ewidentnie wzorowanej na książce K. Ajdukiewicza "Logika pragmatyczna", aniżeli podręcznik logiki formalnej. Nie tego po nim oczekiwałem. Niby książka skupia się głównie na rachunku predykatów I rzędu, co sugerują tytuły większości rozdziałów – 1., 2., 5., 6., 7., 8. i 11., stanowiące ponad połowę treści, a w rzeczywistości poruszane są w nich głównie zagadnienia dotyczące powiązania języka naturalnego z językiem logiki, a dokładniej próba formalizacji tego pierwszego za pomocą drugiego, a próba to dość nietypowa, w moim odczuciu raczej nieudana. Podobne zagadnienia podjęte są w książce "Logika, topologia, język. Relacja bliskości znaczeń na poziomie leksyki" R. Piechowicza.
Materiał został przedstawiony chaotycznie – książka zaczyna się wstępem do nieaksjomatycznej teorii mnogości – rozdziały 1. i 2., o tytułach, kolejno, "Pojęcie zbioru" i "Algebra zbiorów", następnie autor omawia, w dwóch rozdziałach (3. i 4.), logikę tradycyjną, czyli sylogistykę Arystotelesa, gdzie pokazuje, że jest ona nierozstrzygalna (co automatycznie implikuje niezupełność). Kolejne rozdziały (5., 6., 7., 8.) to przedstawienie rachunku predykatów I rzędu, gdzie omawiane są takie zagadnienia jak gramatyka formuł prostych, zdania złożone i interpretacje. Następny rozdział (9.) traktuje o klasycznym rachunku zdań, który zajmuje tylko 18 stron(sic!), włączając w to omówienie logiki wielowartościowej J. Łukasiewicza (Ł₃). W rozdziale 11. powrót do rachunku predykatów I rzędu.
Podczas omawiania treści prawie wszystkich rozdziałów autor, całkowicie niepotrzebnie, zbyt dużą ilość uwagi skupia na próbie formalizowania wypowiedzi języka naturalnego w języku logiki i tłumaczeniu odróżniania form zdaniowych od zdań oraz form nazwowych od nazw, poruszaniu zagadnień denotacji nazw i ich rachunku, presupozycji oraz rozróżnianiu kategorii gramatycznych i ich interpretacji semantycznych (od K. Ajdukiwicza). Są to zagadnienia wchodzące w zakres pragmatyki logicznej, a nie logiki formalnej. Dodatkowo jest niekonsekwentny w stosowaniu nomenklatury logicznej – raz używa określenia funkcja zdaniowa/nazwowa, a raz formuła zdaniowa/nazwowa, a syntaktykę (składnię) nazywa gramatyką.
Bardzo dziwny to zabieg, gdzie podręcznik logiki zaczyna się wstępem do teorii mnogości, następnie przechodzi, kolejno, do sylogistyki, a przez rachunek predykatów do rachunku zdań, by znów powrócić do rachunku predykatów jednym słowem – galimatias, skutecznie uniemożliwiający poprawne wprowadzenie i przyswojenie tej nauki. Uważam, że każdy dobry podręcznik do logiki formalnej powinien zaczynać się od wykładu z rachunku zdań (KRZ), a przede wszystkim dokładnego i jednocześnie przystępnego omówienia spójników (funktorów) logicznych, przechodząc kolejno do rachunku predykatów I rzędu (KRP), który jest na nim nadbudowany, a dopiero w następnej kolejności omówiona powinna być teoria mnogości, w kontekście jej powiązań z logiką formalną. Sylogistyka Arystotelesa powinna być jedynie wymieniona jako ciekawostka historyczna, a nie wykładana na prawie 50-ciu stronach. We współczesnej logice formalnej funkcjonuje ona jako relikt, tradycja, z której ta pierwsza się wywodzi. Co najważniejsze – nie nadaje się do formalizowania jakichkolwiek twierdzeń logicznych i matematycznych. Zbyt obszerne omówienie jej w niniejszej książce potęguje i tak występujący w niej bezład.
Autorowi nie udało się również uniknąć kilkunastu błędów/niepoprawnych zwrotów:
• str 25. i 106., jest: "∀ₓ oznaczający dla dowolnego 𝑥…"; powinno być: "∀ₓ oznaczający dla każdego 𝑥…"
• str. 28., jest: "… nieprzekonywające…"; powinno być: "… nieprzekonujące…"
• str. 34., jest: "… wysłowienia intuicji…"; powinno być: "… wyrażenia intuicji…"
• str. 110., jest: "… przybierze…"; powinno być: "… przyjmie…"
• str. 138., jest: "… przymierzmy się do tego problemu…"; powinno być: "… przyjrzyjmy się temu problemowi…", "… zmierzmy się z tym problemem…"
• str. 145., jest: "… bezkwantyfikatorowa część logiki predykatów…"; jakie ma zastosowanie "bezkwantyfikatorowa część logiki predykatów", skoro to kwantyfikator wiążąc zmienne zamienia je z form zdaniowych w zdania, a właśnie tymi operuje się w rachunku predykatów, sama forma zdaniowa nie stwierdza nic
• str. 147., jest: "[α⇒β]ᵢ = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy [α]ᵢ ≤ [β]ᵢ"; po co wprowadzać do definicji implikacji materialnej (α⇒β), dodatkowy, oprócz spójnika implikacji, teoriomnogościowy symbol relacji ≤ ?!
• str. 148., jest: "… to interpretacja [ℑ] decyduje o wartości logicznej α⇒β…"; nie jest to w pełni prawda, o wartości logicznej α⇒β decydują również wartości logiczne zdań α i β
• str. 148., jest: "… wyjąwszy przypadek…"; powinno być: "… pomijając przypadek…"
• str. 150., jest: "… spójnik prawdziwościowy…"; skoro istnieje "spójnik prawdziwościowy", to powinien też istnieć "spójnik fałszywościowy"(?!)
• str. 160., jest: "⊨ α wtedy i tylko wtedy, gdy ∅ ⊨ α"; autor obowiązkowo powinien dodać, że logika to zbiór konsekwencji pustego zbioru założeń pozalogicznych (!), a nie zbiór konsekwencji pustego zbioru aksjomatów logicznych, nie dodając tej uwagi powinien ją w ogóle pominąć, bo niekompletna wprowadza czytelnika w konfuzję, przecież "z pustego to i Salomon nie naleje"…
• str. 227., jest: "… zasadza się na podobnym rozumowaniu…"; powinno być: "… opiera się na podobnym rozumowaniu…"
• str. 244., jest: "𝑋(𝐵 ⊨ α wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑋∪𝐵ₐ ⊨ α"; powinno być: "𝑋,𝐵 ⊨ α tylko wtedy, gdy 𝑋∪𝐵ₐ ⊨ α".
Moja niewysoka ocena książki wynika się z niespełnionymi oczekiwaniami wobec niej, co wiąże się z tym, że w większości podejmuje ona zagadnienia dotyczące logiki filozoficznej (głównie pragmatycznej), a nie logiki formalnej. Jeśli inny czytelnik interesuje się tą pierwszą, to książka być może przypadnie mu do gustu i jedynie w takiej sytuacji mógłbym ją polecić. Zdecydowanie jednak nie polecam jej jako pierwszy podręcznik do nauki logiki formalnej, gdyż tej jest w niej niewiele, a kolejność przestawionych zagadnień stanowi bezhołowie, czyli jak filozofowie zwykli mawiać – pomieszanie z poplątaniem. Lektura niniejszej książki jeszcze bardziej utwierdziła mnie w przekonaniu jak udana jest książka "Logika elementarna" R. Piotrowskiego oraz w tym, jak trudno jest napisać dobry, czyli wyczerpujący i jednocześnie przystępny, podręcznik podstaw logiki formalnej.

Zachęcony pozytywnymi opiniami W. Buszkowskiego i A. Groblera o książce, umieszczonymi w opisie na stronie wydawcy, postanowiłem zasięgnąć jej lektury. Miałem nadzieję znaleźć w niej zagadnienia logiczne, które nie znalazły się w przeczytanym przeze mnie podręczniku logiki (formalnej) – "Logika elementarna" autorstwa R. Piotrowskiego, choć ta dość kompleksowo ujmuje ten...

Po książce spodziewałem się, że będzie ona uzupełnieniem istniejących już podręczników logiki formalnej/matematycznej zawierającą jej zagadnienia, podane w bardziej przystępnej formie oraz analizą tych jej kwestii, które w trakcie nauki sprawiają najwięcej trudności. Niestety książka owych zagadnień nie zawiera, a jest jedynie analizą umiejętności i zrozumienia logiki przez studentów, bez wskazówek dydaktycznych zarówno dla nich, jak i wykładowców. Można więc napisać, że jest to swego rodzaju obszerniejsza analiza przypadku, aniżeli próba unowocześniania jakichkolwiek podręczników akademickich. Reasumując – nic ciekawego.

Po książce spodziewałem się, że będzie ona uzupełnieniem istniejących już podręczników logiki formalnej/matematycznej zawierającą jej zagadnienia, podane w bardziej przystępnej formie oraz analizą tych jej kwestii, które w trakcie nauki sprawiają najwięcej trudności. Niestety książka owych zagadnień nie zawiera, a jest jedynie analizą umiejętności i zrozumienia logiki przez...

Niniejszą książkę zakupiłem na potrzeby przygotowania się do nowej pracy - pod kątem walidacji. Napisali ją wykładowcy, z którymi miałem zajęcia z chemii analitycznej (PG) – prof. Jacek Namieśnik (✝) i prof. Piotr Konieczka. Jest ona pozycją podejmującą temat oceny i kontroli wyników pomiarów w chemii analitycznej i zawiera, kolejno, następujące zagadnienia: podstawy statystyki, jakość pomiarów analitycznych, spójność pomiarowa, szacowanie niepewności, materiały odniesienia, badania międzylaboratoryjne i walidacja metod analitycznych. Rozdziały I, III, IV i VII były dla mnie najbardziej istotne, z punktu widzenia nowej pracy, więc na ich krótkim scharakteryzowaniu oraz ocenie skupię się w niniejszej recenzji.
Choć książka podejmuje, zagadnienia walidacji, to dotyczą one prawie wyłącznie walidacji metod analitycznych, a w bardzo niewielkim tylko stopniu walidacji procesowej (czyli walidacji procesu wytwarzania). To drugie zagadnienie poruszone zostało na końcu rozdziału I, w podpunkcie o tytule "Karty kontrolne", które stosowane są w 𝑆𝑃𝐶 (𝑆𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙) do kontrolowania powtarzalności procesu wytwarzania i służą do przeprowadzenia walidacji procesowej. Są to przede wszystkim karty Shewharta: bez zadanych wartości normatywnych, uwzględniające zadane wartości normatywne, parametryczne, podstawowe (𝑥̄-𝑅, 𝑥̄-𝑆, 𝑥ᵢ-𝑅 i 𝑀ₑ-𝑅), karty specjalne (𝑀𝐴, 𝐶𝑈𝑆𝑈𝑀), dla krótkich serii), nieparametryczne, liczby wyników niezgodnych (𝑛𝑝), frakcji wyników zgodnych (𝑝), liczby niezgodności (𝑐), liczby niezgodności w zbiorze wyników (𝑢). Początkowa i większa część rozdziału I, będąca elementarnym wykładem podstawowych zagadnień statystyki matematycznej. Zawiera takie zagadnienia jak: rozkład zmiennych losowych, miary położenia, rozproszenia, asymetrii, weryfikacja hipotez statystycznych oraz najważniejsze testy statystyczne – 𝑄-Dixona, 𝜒², 𝐹-Snedecora, Hartleya, Bartletta, Morgana, 𝑡-Studenta, Cochrana-Coxa, Aspina-Welcha, Kołmogorowa-Smirnowa, Cochrana, Grubbsa, Hampela, Mandela oraz wskażniki 𝑍 i 𝐸ₙ. Są to w zasadzie najważniejsze testy stosowane w analizie wyników pomiarów. W opisie testów analizy wariancji Hartleya i Bartleta zabrakło jednej, bardzo istotnej informacji – testy te wymagają tego, aby zbiór wyników był zgodny z rozkładem normalnym, aby były one wiarygodne (adekwatne), informacja ta została natomiast uwzględniona w opisie testu 𝐹-Snedecora. W powyższym rozdziale pominięto dwa ważne testy, pierwszy z nich to nieparametryczny test Shapiro-Wilka, który jest testem weryfikującym normalność rozkładu zbioru wyników o większej mocy niż omówiony test normalności Kołmogorowa-Smironowa, co pokazały metody symulacji Monte Carlo, drugi to nieparametryczny, rangowy test Kruskala-Wallisa, którego estymatorem jest wariancja, ale nie wymaga on tego, aby zbiór wyników podlegał rozkładowi normalnemu, tak jak jest to w przypadku testów analizy wariancji jednoczynnikowej (𝐴𝑁𝑂𝑉𝐴). Parametrami, które umożliwiają wstępną ocenę normalności rozkładu są kurtoza i skośność, jeśli ich wartości są wyraźnie różna od zera, to jest to przesłanka do wnioskowania, że zbiór wyników pomiarów nie podlega rozkładowi normalnemu. Niestety opisy tych parametrów nie zostały zawarte w książce, a szkoda, bowiem ich wyznaczenie to najprostsza i najszybsza z metod do wstępnej weryfikacji hipotezy o normalności rozkładu zbioru wyników. Podobnie ma się sytuacja dotycząca sporządzania histogramu, o czym również nie wspomniano.
𝐴𝑑 𝑣𝑜𝑐𝑒𝑚 początku Rozdziału I – za duże przeoczenie uważam brak informacji, że w równaniu odchylenia standardowego (𝑆) z próby w mianowniku występuje człon 𝑛-1, natomiast w równaniu odchylenia standardowego z populacji (σ) w mianowniku występuje człon 𝑛. Jest to o tyle istotne, że w przypadku, gdy próba nie jest liczna, 𝑆 i σ mogą się różnić i wpływać na wartości przedziałów tolerancji na kartach przebiegu procesu i kartach kontrolnych 𝑥̄±3𝑆 i/lub 𝑥̄±3σ, powodując, że są one niepoprawne, ze wszystkimi tego następstwami.
Wyczerpująco potraktowane zostało zagadnienie wyznaczania niepewności pomiaru, wraz z przykładami, w rozdziale V. Prof. Konieczka (wtedy jeszcze dr), z którym miałem zajęcia z chemii analitycznej, kładł duży nacisk na jej określanie podczas analizy wyników pomiarów.
Najbardziej obszernym pod względem treści potraktowany został rozdział VII dotyczący walidacji metod analitycznych. Opisane w nim zostały wszystkie parametry niezbędne do przeprowadzenia walidacji metody, zgodnie z obowiązującymi zaleceniami 𝐼𝐶𝐻 i 𝑈𝑆𝑃, czyli: dokładność, precyzja (precyzja pośrednia, powtarzalność, odtwarzalność), specyficzność/selektywność, granice wykrywalności (𝐿𝑂𝐷) i oznaczalności (𝐿𝑂𝑄), liniowość, zakres pomiarowy, odporność i elastyczność. Wszystkie z nich pokazane zostały na przykładzie różnych metod analitycznych, co ułatwia późniejsze ich zastosowanie w praktyce.
Za najmniej ciekawy, i niekoniecznie niezbędny, w książce uważam rozdziały III i VI, traktujące kolejno, o spójności pomiarowej i materiałach odniesienia. Rozsądnym byłoby skrócenie ich na korzyść rozszerzenia rozdziału I, dotyczącego podstawowych pojęć statystyki. Pracując w dziale zapewnienia jakości (eubioco LGO Olsztyn – niech czytający wiedzą 😆) musiałem wykonywać testy analizy wariancji jednoczynnikowej (𝐴𝑁𝑂𝑉𝐴) i z braku narzędzi statystycznych nie weryfikując uprzednio czy zbiory wyników pomiarów są zgodne z rozkładem normalnym. Choć wiedziałem, że niektóre ich wyniki będą nieadekwatne, to wymagał tego główny plan walidacji (𝐺𝑃𝑊) – niepoprawnie napisany, oraz „doświadczona” przełożona (na szczęście była 😁), która tej "świadomości statystycznej" zupełnie nie posiadała (😂). Ot, to taka uszczypliwa dygresja odnośnie ignorancji matematyczno-statystycznej, niestety, nierzadkiej wśród chemików.
Choć nie do końca odpowiada mi stosunek objętości treści do siebie w poszczególnych rozdziałach, o czym wspominałem powyżej – w zasadzie jest to jedyne do niej zastrzeżenie – to książkę mogę zdecydowanie polecić chemikom analitykom, którzy zaczynają swoją pracę z szeroko pojętą analityką chemiczną, szczególnie jeśli dotyczyć ma ona walidacji metod analitycznych, gdzie obligatoryjnie stosuje się analizę statystyczną otrzymanych wyników pomiarów, ale i osobom, które zawodowo zajmują się walidacją wytwarzania i czyszczenia przeprowadzanymi min. w wytwórniach/firmach farmaceutycznych.

Niniejszą książkę zakupiłem na potrzeby przygotowania się do nowej pracy - pod kątem walidacji. Napisali ją wykładowcy, z którymi miałem zajęcia z chemii analitycznej (PG) – prof. Jacek Namieśnik (✝) i prof. Piotr Konieczka. Jest ona pozycją podejmującą temat oceny i kontroli wyników pomiarów w chemii analitycznej i zawiera, kolejno, następujące zagadnienia: podstawy...

Książka jest próbą przedstawienia zagadnień związanych z logiką praktyczną, sztuką argumentacji, prowadzenia dyskusji/sporów (erystyki) oraz retoryki. Napisana została przez matematyka i logika, więc jej treść jest bardzo precyzyjna (w języku statystyki matematycznej – dokładna). Nie uskutecznia więc on jałowego, filozoficznego dyskursu na jej kartach – tylko konkrety.
Autor wykazał się wyjątkowo dobrą, znajomością typowo humanistycznych zagadnień, których elementami są takie „nauki” jak filozofia, językoznawstwo (lingwistyka) retoryka/erystyka i sztuka argumentacji, które przedstawione zostały w sześciu rozdziałach, stanowiących główną i prawie całą objętość książki. Na końcu książki znalazł się Dodatek „Logika formalna”, w którym zwięźle scharakteryzowane zostały elementarne zagadnienia logiki formalnej, to jest semantyczne (zero-jedynkowe/matrycowe) i aksjomatyczne (syntaktyczne, w aksjomatyce Hilberta-Bernaysa) ujęcie klasycznego rachunku zdań i predykatów, co pozwala na zaniechanie sięgania do książek przeznaczonych stricte do nauki logiki formalnej/matematycznej.
Trochę dziwi mnie krytyka logiki formalnej przez autora, który to logikiem jest, w zastosowaniach jej do wnioskowań/rozumowań w języku naturalnym (potocznym), a przede wszystkim matematycznych. O ile z pierwszym poglądem powyższego zdania mógłbym się zgodzić, w związku z intensjonalną cechą języka naturalnego i jego nieostrością znaczeń, to zdecydowanie nie zgodzę się z tym drugim, choć zdaję sobie sprawę, że typowe dowody matematyczne często odbiegają od pełnych, długich i żmudnych do wyprowadzania formuł, w których używa się rachunku zdań i rachunku predykatów, co ma to na celu ich skrócenie oraz zmniejszenie skomplikowania i tak trudnych już zagadnień.
Za bardzo trafne uważam umieszczenie ciekawych łamigłówek logicznych, które pozwalają na pewną weryfikację przyswojonego materiału.
Bardzo nie podoba mi się natomiast wyrażanie w książce własnych poglądów politycznych i religijności autora. Mógłbym zrozumieć, że jako przykłady prowadzenia sporów/dyskusji (erystyki) autor podaje przykłady takie jak wiara-niewiara w boga, za i przeciw aborcji, za i przeciw komunizm-demokracja oraz przytacza obustronne argumenty każdego ze stanowisk, to stawanie po jednej ze strony w tychże sporach, sugerując czytelnikowi określone stanowisko uważam za, co najmniej, niestosowne, a już na pewno za nieprofesjonalne. Szczególnie jeśli dotyczy to książki o rozumowaniach, wyciąganiu wniosków, gdzie nie można podążać ślepo wyłącznie za jedną, sugerowaną i w mniemaniu autora słuszną, ideologią, bo jest to droga do indoktrynacji, a nie analiza wszystkich możliwości celem wyciągnięcia z nich wniosków, na końcu przedstawienie własnej argumentacji za wybranym poglądem/stanowiskiem. Bardzo razi mnie stosowanie w książkach naukowych, względnie popularnonaukowych stosowanie tego typu zabiegów, które sprzeczne są z założeniami neutralności metod naukowych, nawet tych humanistycznych, których za naukę raczej nie uważam. Bardzo podobna sytuacja miała miejsce w recenzowanej przeze mnie książce "Logika elementarna" R. Piotrowskiego.
Poniżej wymienię fragmenty zdań z książki , które uważam za błędne bądź niestosowne, a tam gdzie to konieczne dodam komentarz z uwagami:
• str. 51.: „… wątki uboczne…”; powinno być: „… wątki poboczne…”
• str. 65.: „… logika formalna nie ma żadnych zastosowań w praktyce rozumowaniach matematycznych i dotyczy wyłącznie rozumowań dedukcyjnych…”; jest to nieprawdą, w matematyce stosuje się również wnioskowania/rozumowania indukcyjne, np. aksjomat indukcji w pozalogicznych aksjomatach arytmetyki Peana liczb naturalnych
• str. 65.: „… w matematyce nie istnieją żadne zasady i reguły logicznego myślenia…”; jest to nieprawdą, to właśnie logiczne myślenie/rozumowanie, min. dzięki logice formalnej (matematycznej) pozwoliło osiągnąć jej wyjątkową ścisłość i dokładność
• str. 104.: „… istnieje niewątpliwa relacja pomiędzy decyzją o zostaniu księdzem, a empatią wobec ludzi…”; czyżby? Jak ma się to do ukrywania i niekarania sprawców pedofilii kościoła rzymskokatolickiego?
• str. 124.: „… platonizm matematyczny kłóci się ze współczesnym zdrowym zdrowym rozsądkiem…”; Czyżby? Sam K. Gödel podkreślał, że odkrycie przez niego dwóch przełomowych twierdzeń: o niezupełności Peana arytmetyki liczb naturalnych (i systemów bogatszych) oraz niedowodliwości jej niesprzeczności w niej samej, wynikało z jego platonistycznego podejścia do logiki i matematyki
• str. 133.: „… wszystkie definicje odnoszące się do rzeczywistości są nieścisłe…”; również jest to nieprawdą, w skali makroskopowej np. równania pola grawitacyjnego Einsteina są w pełni ścisłe
• krytyka aborcji i homoseksualizmu, str. 137. i 138., 209.; choć gejem/lewakiem nie jestem, a jedynie zwolennikiem neutralności i szacunku światopoglądowego w tego typu publikacjach
• krytyka komunizmu, str.: 149., 163., 170., 211., 216.; tutaj nie ma sytuacji zero-jedynkowej, czarne-białe: komunizm – zły, demokracja – dobra
• str.: 218.: „… komuniści kradną…”; to stwierdzenie chyba nie wymaga komentarza
• str. 169.: „… zdanie syntezujące…”; I. Kant nie używał terminu zdanie syntezujące, ale syntetyczne (a priori)
• str. 173.: „… demokracja to najlepsza strategia zachowania pokoju na świecie…”; na przykładzie Stanów Zjednoczonych Ameryki, uważanych za ostoję demokracji, stwierdzenie to jest zupełnie nieprawdziwe (inwazja na Wietnam, wojna w Zatoce Perskiej, inwazja na Irak i Afganistan) gdzie pod płaszczykiem demokracji kryły się wyłącznie interesy narodowe, tj. finansowe, tego państwa, a nie idea zaprowadzania wolności i demokracji na świecie
• str. 177.: „… eutanazja to destrukcja społeczeństwa…”; czyżby bardziej humanitarne byłoby powieszenie się samobójcy w domu, od świadomego zażycia śmiertelnej tabletki w szpitalu/domu pod nadzorem lekarza przy obecności rodziny, albo pozwolenie na powolne umieranie nieuleczalnie chorym w ogromnym cierpieniu?
• str. 261-266: polemika w listowna W. Siły-Nowickiego i J. Tischnera, gdzie ten drugi zamiast merytorycznych argumentów stosuje opisane w książce sztuczki erystyczne, a któremu to autor przyznaje „wygranie” tejże dyskusji
• str. 290., jest: „… ze zdania fałszywego można wywnioskować można każde zdanie…”; ze zdania fałszywego może, co najwyżej, wynikać, a nie „można wywnioskować” każde zdanie, autor pomylił, nie wiem czy świadomie, wynikanie (implikację materialną) z regułami wnioskowania (inferencji), do których należą reguła odrywania (czyli dedukcja), reguła podstawiania, reguła zastępowania definicyjnego, prawa 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑠 𝑡𝑜𝑙𝑙𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑛𝑠 (sprowadzenie do sprzeczności) i wnioskowaniem indukcyjnym
• str. 290., jest: „(𝑝∨𝑞)∧~(𝑝∨𝑞)”; powinno być: „(𝑝∨𝑞)∧~(𝑝∧𝑞)”
• str. 294., jest: „… prawami logicznymi są 𝑝⇒(𝑝⇒𝑞)...”; formuła ta nie jest prawem (tautologią) rachunku zdań, tym samym powinno być: „... prawem logicznym nie jest 𝑝⇒(𝑝⇒𝑞)…”
• str. 296., jest: „… liczba pierwsza to ta, która nie ma właściwych dzielników (innych niż ona sama lub 1)…”; autor powinien obowiązkowo dodać również, że liczby pierwsze, to liczby większe od 1, inaczej można wnioskować, że liczbami pierwszymi mogą być także liczby ujemne podzielne przez 1 i samą siebie
• str. 297., jest: „… prawa rachunku kwantyfikatorów to prawo subalternacji i prawo przestawiania kwantyfikatorów ~∀𝑥𝑃(𝑥)⟺∃𝑥𝑃(𝑥) oraz ~∃𝑥∀𝑦𝑃(𝑥,𝑦)⟺∀𝑦∃𝑥𝑃(𝑥,𝑦)…”; formuły te nie są prawami (tautologiami) rachunku predykatów.
Mimo powyższych wad, przez które ocenę obniżyłem o jedną gwiazdkę, książkę zdecydowanie polecić mogę wszystkim tym, którzy chcą dokładniej i precyzyjniej formułować swoje myśli, komunikację międzyludzką oraz rozwinąć umiejętność argumentacji i sztuki prowadzenia sporów. Lektura nie tylko dla „humanistów”, dla ścisłowców również.

Książka jest próbą przedstawienia zagadnień związanych z logiką praktyczną, sztuką argumentacji, prowadzenia dyskusji/sporów (erystyki) oraz retoryki. Napisana została przez matematyka i logika, więc jej treść jest bardzo precyzyjna (w języku statystyki matematycznej – dokładna). Nie uskutecznia więc on jałowego, filozoficznego dyskursu na jej kartach – tylko...

Jest to druga przeczytana przeze mnie książka o logice, której autorem jest zagraniczny filozof, a tłumaczem na polski jest B. Stanosz. Niestety okazała się ona równie słaba jak poprzednia (por. „Formalizm w logice współczesnej” – M. Marković). Powody tego mogą być dwa. Pierwszy z nich to, że za pisanie o logice, częściowo też o matematyce, zabiera się filozof któremu może brakować kompetencji, drugi to niestaranne tłumaczenie B. Stanosz wynikające albo z niechlujstwa, albo braku bardzo dobrej znajomości logiki (choć żaden ze mnie ekspert w tej dziedzinie, a jedynie amator-entuzjasta). Skłaniałbym się ku wersji drugiej, wkład Quine'a do logiki formalnej jest raczej znany (przynajmniej wśród filozofów-logików), choć pewnie mniej znany jest (matematykom) jego wkład do rozwoju teorii mnogości, której modelami aksjomatycznymi był „𝑁𝑒𝑤 𝐹𝑜𝑢𝑛𝑑𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛” i „𝑀𝑎𝑡ℎ𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑐”. Te systemy aksjomatyczno-dedukcyjne nie były co prawda odkrywcze, są jedynie modyfikacją teorii typów logicznych stworzonych przez B. Russella i A. Whiteheada (który był promotorem doktoratu Quine'a), opublikowanych w dziele „𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑎 𝑀𝑎𝑡ℎ𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎”, a które przez przez pewien czas były dominującym modelem aksjomatycznym teorii mnogości.
Słabości tych książka ma bardzo wiele. Przede wszystkim jest nie na temat – nie jest ona filozoficzną analizą i/lub refleksją na temat logiki formalnej, podejmującą temat zakresu jej stosowalności, związków z matematyką, istnieniem wielu rodzajów logik, ich porównania 𝑒𝑡𝑐.
Pierwsze dwa (z siedmiu) rozdziały są typowo filozoficznym pastwieniem się nad gramatyką języka naturalnego z nielicznymi i pojawiającymi się znikąd wtrętami logicznymi, czy to w postaci symboli funktorów logicznych czy predykatów/kwantyfikatorów – kompletnie niespójna treść.
Rozdział 3. dotyczy zagadnienia prawdy i jest mętnie przedstawionym (a w zasadzie jedynie poruszonym) zagadnieniem twierdzenia o niedefiniowalności prawdy (którego dowód formalny podał A. Tarski), nie omawiając najważniejszej dla tego zagadnienia stopniowania hierarchii języków, przez co, min., łatwo pogubić się pomiędzy pojęciem prawdy w języku naturalnym, a pojęciem prawdy w logice, jako języku formalnym.
Rozdział 4. jest, ponownie, niespójną plątaniną teorii mnogości, teorii modeli, metamatematyki (teorii dowodu) oraz związanych z nimi twierdzeń limitacyjnych (I tw. Gödla i tw. Löwenheima-Skolema), antynomii Russella i Grelllinga. Największy 𝑓𝑎𝑢𝑥 𝑝𝑎𝑠 popełniony został w podrozdziale „Prawda logiczna”, gdzie na podstawie rozwinięcia Herbranda autor (tłumacz?), stwierdza, że rachunek predykatów I rzędu (KRP) jest rozstrzygalny. Gwoli wyjaśnienia – poprawny dowód (dziedzicznej) nierozstrzygalności rachunku predykatów I rzędu podał A. Church (1936), oznacza to, że nie istnieje efektywna metoda rozstrzygania, czy określona formuła języka tego rachunku jest jego tautologią, jest jednak półrozstrzygalny: własność bycia tautologią tego rachunku jest pozytywnie obliczalna – metoda tablic analitycznych pozwala dowieść w sposób efektywny, tego czy jakaś formuła jest tautologią tego rachunku. Natomiast rozwinięcie Herbranda jest, po prostu, zapisem formuły rachunku predykatów I rzędu jako formuły rachunku zdań, gdzie wszystkie kwantyfikatory ogólne zastąpione zostały przez koniunkcję, a kwantyfikatory egzystencjalne przez alternatywę formuł atomowych – innymi słowy jest to redukcja rachunku predykatów I rzędu do rachunku zdań, gdzie ten drugi jest podzbiorem pierwszego i nie można na tej podstawie wnioskować zupełności tego pierwszego.
Jako ciekawostkę warto nadmienić, że polski filozof-logik, Leon Gumański podał dowód rozstrzygalności rachunku predykatów I rzędu (w swojej książce „Istnienie i logika”), lecz jest on niepoprawny. Jakby tego było mało pomylone zostało teoriomodelowe pojęcie spełniania (w modelu) z pojęciem pełności (czego? jaką?), żeby następnie tę nieokreśloną pełność pomylić z zupełnością (nieprawdziwą) dla klasycznego rachunku predykatów I rzędu.
W rozdziale „Podstawy prawdy logicznej” stwierdza, że „nawet elementarna teoria liczb, na pewno nie jest w całości potencjalnie oczywista; wszak nawet nie dopuszcza zupełnej procedury dowodowej”, gdzie w rozdziale poprzednim pisze, że model teorii liczb naturalnych (w teorii I rzędu) jest zupełny, czemu przeczy I tw. Gödla i twierdzenie Löwenheima-Skolema.
Ponadto często pojawiają się błędy ortograficzne – "nie" z przymiotnikami pisane jest oddzielnie, a pisać należy łącznie, nie da się stwierdzić, czy winę za to ponosi tłumacz (B. Stanosz), czy korekcja. Nie podoba mi się zapisywanie symbolu funktora koniunkcji jako kropki, co jest wizualnie nieintuicyjne, ponieważ może się to mylić z działaniem mnożenia.
W książce roi się od niepoprawnych, pod różnymi względami, zwrotów logiczno-teoriomnogościowych jak: „mocna teoria zbiorów”, „zdanie jest zbiorem swoich egzemplarzy”, „dodatnie liczby całkowite” (zamiast liczby naturalne), „... pojęcia tautologiczności i prawdy logicznej pozostają zależne tylko od bardzo skromnego fragmentu teorii zbiorów, a są niezależne od jej wyższych lotów.”, „... jakiejś metody dowodzenia przedstawionej w podręcznikach logiki.”, „… które by się wśliznęły, gdyby uwzględniało się tylko podstawienie predykatów za predykaty.”, „… logika jest wypadkową gramatyki i prawdy.”, „… pozalogiczna matematyka…”, „… predykat identyczności jest właściwie w zasięgu ręki…”, „… umieszczenie między nimi partykuły „∈”.”, „… przez brak ontologicznej powściągliwości są świadomymi rzecznikami własności.”, „Prawdziwa teoria zbiorów pozwala wyprowadzić wiele rzeczy, których nie można otrzymać z tej ograniczonej symulacji klas i relacji.”, „… przyjmująca trzy lub więcej tzw. wartości logicznych zamiast prawdy i fałszu.”, „Różnice koncepcje logiki kwantyfikacji są relewantne dla ontologii – dla kwestii, co istnieje.”, „… wchodzimy na teren matematyki funkcji…”, „… w uczciwej teorii zbiorów…”.
Najbardziej jednak zażenował mnie następujący fragment książki:
„Trzeba jednak powiedzieć coś w obronie tego pozornego odwoływania się do zbiorów. Pozwala ono korzystać w pewnym zakresie z wygodnej ontologii zbiorów bez płacenia za to ontologicznych rachunków; gdy trzeba będzie rozliczyć się z ontologii, można wytłumaczyć się z tych rzekomych zbiorów jako jedynie pewnego sposobu mówienia powołując się na definicję kontekstową. Im więcej pożytków przynosi takie „bezpłatne” posługiwanie się zbiorami, tym słabsze stają się argumenty na rzecz ontologii zbiorów. Wprawdzie nie uda nam się wykazać w ten sposób, że taka ontologia jest w ogóle zbyteczna; potrafimy jednak wykazać, że nie jest ona potrzebna do pewnych celów, do których wydawała się niezbędna, a być może także – że do jakichś innych celów wystarczy skromniejsza ontologia zbiorów, niż mogłaby się wydawać.”
Podsumowując – czytając tę pozycję czułem się poirytowany, a główne tego powody to chaos podejmowanych zagadnień i rażące błędy merytoryczne. Czytanie jej strasznie mnie męczyło. Nie wniosła ona nic do mojej wiedzy i refleksji na temat logiki. Dziwię się, że została ona w ogóle wydana. Porównując ją chociażby do pozycji „Pluralizm w logice” B. Czerneckiej-Rej, gdzie, wydawałoby się, poruszają one bardzo zbliżoną tematykę, to ta druga bije tę pierwszą na głowę, pod każdym względem. Niniejsza książka Quine'a jest dla mnie typowym dla filozofii biciem piany, z którego nie wynika nic, kompletnie. Absolutnie nie polecam.

Jest to druga przeczytana przeze mnie książka o logice, której autorem jest zagraniczny filozof, a tłumaczem na polski jest B. Stanosz. Niestety okazała się ona równie słaba jak poprzednia (por. „Formalizm w logice współczesnej” – M. Marković). Powody tego mogą być dwa. Pierwszy z nich to, że za pisanie o logice, częściowo też o matematyce, zabiera się filozof któremu może...

Książka jest zbiorem antologii, czyli tłumaczeń tekstów filozoficznych fragmentów prac matematycznych od starożytności do roku 1931, czyli do momentu odkrycia przez K. Gödla twierdzeń o niezupełności i niedowodliwości niesprzeczności arytmetyki liczb naturalnych, nazwanych od jego nazwiska.
Chapeau bas dla Autora za ogrom pracy włożony w przetłumaczenie większości tych prac, które spisane były nie tylko w języku angielskim, ale niemieckim i holenderskim. Sam wybór tekstów jest jak najbardziej trafny, są one autorstwa kolejno: Platona, Arystotelesa, Euklidesa, Proklosa, R. Descartesa (Kartezjusza), B. Pascala, G. Leibniza, I. Kanta (sic!), B. Bolzano, J.S. Milla, R. Dedekinda, G. Cantora, G. Frege, B. Russella, H. Poincaré, L. Brouwera, A. Heytinga, D. Hilberta, P. Bernaysa. Książkę zacząłem czytać dopiero od części autorstwa B. Bolzana, mniej więcej od jego czasów zaczęto formalizować matematykę. Ponadto od tej części książki występuje znacznie mniej wątków transcendentalnych, metafizycznych i teologicznych, które w początkowych fragmentach książki nużyły mnie na tyle, że zmuszony byłem je pominąć. Za najciekawszy uważam fragment autorstwa D. Hilberta, gdzie omawia on problem udowodnienia niesprzeczności podstaw matematyki przy użyciu metod finitystycznych. Za najmniej ciekawy, a wręcz niepotrzebny uważam fragment autorstwa I. Kanta. Nie bardzo rozumiem dlaczego autorzy piszący o filozofii matematyki uwzględniają w ogóle jego poglądy w swoich opracowaniach. Nie dość, że I. Kant nie wzniósł nic ważnego nie tylko do matematyki, ale i jej filozofii, to część jego poglądów zostało sfalsyfikowanych po odkryciu geometrii nieeuklidesowych i teorii względności (postulowany przez niego aprioryzm czasu i przestrzeni).
W treści znalazłem tylko jeden błąd:
• str. 273., 12. wiersz od dołu, jest: „… dwom różnym funkcjom…”; powinno być: „… dwóm…”.
Podsumowując, jest to ciekawa, a przede wszystkim bardzo wartościowa pozycja pokazująca formowanie się filozofii matematyki na przestrzeni wieków, przy okazji rozwoju samej matematyki. Choć najbardziej przypadła mi końcowa część książki, w której było mniej filozofii, a więcej matematycznego formalizmu.
PS przy okazji tej recenzji chciałbym bardzo serdecznie podziękować Panu prof. Murawskiemu za podarowanie mi (tak, bezpłatne!) 4 książek (w tym tej) Jego autorstwa, wraz z dedykacją!

Książka jest zbiorem antologii, czyli tłumaczeń tekstów filozoficznych fragmentów prac matematycznych od starożytności do roku 1931, czyli do momentu odkrycia przez K. Gödla twierdzeń o niezupełności i niedowodliwości niesprzeczności arytmetyki liczb naturalnych, nazwanych od jego nazwiska.
Chapeau bas dla Autora za ogrom pracy włożony w przetłumaczenie większości tych...

Książka ta jest pierwszym podręcznikiem, poprzez który zetknąłem się logiką i jako taki, w zamierzeniu autora, przeznaczony jest głównie dla studentów kierunków humanistycznych, choć jak sam zaznaczył – nie chciał powielać istniejących już na rynku podręczników. Wybór jej na pierwszą lekturę podyktowany został względami raczej pragmatycznymi, aniżeli opiniami czy rankingami innych czytelników zainteresowanych logiką, w tym recenzjami naukowców i/lub nauczycieli akademickich, bo tych w internecie przynajmniej brak. Pozycja ta nie zakłada od czytelnika uprzedniej znajomości logiki, i tak właśnie było w moim przypadku. Przeczytałem ją trzykrotnie, aby dobrze opanować zawarty w niej materiał, to nie mało, lecz był to mój pierwszy mój z nią kontakt, więc jest to raczej naturalna tego konsekwencja.
Skład książki został wykonany starannie, bo w 𝐿𝑎𝑇𝑒𝑋-ie, co wygląda bardzo estetycznie, w porównaniu do składu w MS Word, choć zastosowana czcionka TeX Gyre Pagella nie jest jego czcionką domyślną. Nawet skomplikowana dla dłuższych formuł, dwuwymiarowa notacja G. Freggego, podana jako jeden z przykładów notacji logicznej, wykonana jest bez jakichkolwiek niedoróbek.
Na prawie 300 stronach autor zawarł materiał związany nie tylko z logiką klasyczną (formalną), czyli rachunkiem zdań, rachunkiem predykatów, metalogiką, wnioskowaniem (dedukcyjnym i indukcyjnym) i sylogistyką (nazwy i pojęcia, definicje), ale również z logikami nieklasycznymi (trójwartościową Łukasiewicza Ł₃, intuicjonistyczną i modalną) oraz elementami teorii mnogości (kolektywy i zbiory, teoria relacji i jej zastosowania). Mając styczność, choć powierzchowną na chwilę obecną, z innymi podręcznikami do logiki, również typowo matematycznej odmianie, dobór materiału w niniejszej książce uważam, za trafny, i skłaniałbym się ku temu, zapewne wbrew intencjom jej autora, że nie jest on typowy tylko dla filozofów, tutaj udało się zachować autorowi balans pomiędzy ścisłością (formalizmem), a opisem słownym prezentowano materiału.
Poniżej zrecenzuję pokrótce każde z wymienionych powyżej zagadnień przedstawionych w książce, zachowując tytuły i kolejność rozdziałów.
Książka zaczyna się wstępem („Jak i po co uczyć się logiki?”), gdzie autor przedstawia główne założenia i zastosowania logiki klasycznej, oraz, dość przekonująco, uzasadnia dlaczego warto znać chociażby jej podstawy.
Klasyczny rachunek zdań (rozdział o tym samym tytule), będący fundamentem logiki klasycznej wyłożony został bardzo przystępnie, głównie ze względu na szczegółowe omówienie funktorów (spójników) zmiennych zdaniowych, a wyjątkowo dokładnie implikacji materialnej, choć tutaj trochę zabrakło autorowi konsekwencji w użytej terminologii/nomenklatury, o czym wspomnę à propos wypunktowania zaistniałych w książce błędów. Uważam, że największą bolączką podręczników logiki jest, nierzadko, mało przystępne i nieintuicyjne wyłożenie zagadnień związanych z funktorami logicznymi, przy jednoczesnym zachowaniu możliwej ścisłości. Dotyczy to szczególnie spójnika implikacji, który jest najbardziej problematycznym do zrozumienia w początkowych etapach nauki logiki, czego powodem jest narzucanie związku treściowego pomiędzy zdaniami nim połączonymi z tym występującym w języku naturalnym (potocznym), zapominając, że język logiki jest językiem sztucznym, a jej spójniki traktować należy wyłącznie ekstensjonalnie – nie interesuje nas bowiem treść połączonych nimi zdań, a jedynie ich wartość logiczna (prawda lub fałsz). Tym samym implikacja materialna języka logiki rozszerza implikację warunkową języka naturalnego, z naddatkiem połączeń zdań niedorzecznych, z punktu widzenia tego drugiego. Ponadto nie jest ona procesem i/lub metodą wnioskowania, choć implikacje wchodzą w skład większości metod dowodzenia twierdzeń. O tym wszystkim autor napisał. Semantyczna (założeniowa/zero-jedynkowa) wersja rachunku zdań przedstawiona jest bez zarzutu i opatrzona wieloma przykładami zero-jedynkowego sprawdzania wartości logicznych formuł. W syntaktycznej wersji rachunku zdań za aksjomaty, łącznie piętnaście, przyjęte zostały te w ujęciu Hilberta-Bernaysa, które zawierają spójnik negacji oraz wszystkie spójniki dwuargumentowe (implikacja, koniunkcja, alternatywa, równoważność) z wyłączeniem binegacji i dysjunkcji. Nie zabrakło również omówienia, krótszych systemów aksjomatycznych – alternatywno-negacyjnej Russella-Whiteheada (cztery aksjomaty) oraz implikacyjno-negacyjnej Łukasiewicza (trzy aksjomaty). Choć mój wybór padłby nad przyjęcie za główny system aksjomayczny ostatni z w/w, ponieważ zawiera tylko trzy aksjomaty oraz dwa funktory – negację i implikację. Na końcu tego rozdziału, choć w zadaniach, autor umieścił równoważną wobec powyższych systemów, dysjunkcyjną aksjomat(ykę) Nicoda (w wersji uproszczonej przez J. Łukasiewicza), która zawiera tylko jeden (!) aksjomat i tylko jeden (!) spójnik dwuargumentowy – dysjunkcję, ale, niestety, aż cztery zmienne zdaniowe. Co ciekawe, autor przedstawił również system dedukcji naturalnej Gentzena-Jaśkowskiego, który nie posiada żadnych aksjomatów, lecz wyłącznie reguły inferencji, w tym przypadku zależność pomiędzy ilością aksjomatów, a ilością reguł inferencji jest odwrotnie proporcjonalna – coś za coś. Głównym zastrzeżeniem w tym rozdziale jest skąpy opis najważniejszej, metajęzykowej reguły wnioskowania (inferencji) – reguły odrywania dla implikacji, autor nie wspomina, że jest ona regułą niezawodną (tautologiczną), czyli że odpowiada ona jednej z wymienionej wcześniej językowej tautologii 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑠 (o czym wspomina dopiero w ostatnim rozdziale książki) i powinna być przedstawiona w postaci „twierdzenia o dedukcji”. Poza tym przedstawienie jej w postaci sylogistycznej, czyli przesłanki-kreska pozioma-wniosek), spowodowało, że początkowo nie wiedziałem jak poprawnie zapisać ją w postaci formuły rachunku zdań, a wystarczyłoby ową formułę, [α ∧ (α⇒β)] ⇒ β, wpisać pod jej schematem sylogistycznym. Szczegółowe, a jednocześnie bardzo przystępne omówienie syntaktycznej wersji klasycznego rachunku zdań uważam za największą zaletę tego podręcznika. Za trafny zabieg dydaktyczny uważam zaniechanie wplatania pojęć teoriomnogościowych, takich jak zbiór, należenie do zbioru, zawieranie się w zbiorze (inkluzja), dziedzina/przeciwdziedzina, funkcja wartościująca, iloczyn kartezjański, w rozdziały traktujące o rachunku zdań i rachunku predykatów, co jest częste w podręcznikach do logiki i w mojej opinii raczej niepotrzebne, bo psuje to jasność wykładu, choć oczywiście zdaję sobie sprawę, że zagadnienia te wzajemnie uzupełniają się. Powyższe pojęcia słusznie zostały omówione odrębnie w rozdziale poświęconym teorii mnogości. Podsumowując – jasne, ale i możliwie obszerne wyłożenie klasycznego rachunku zdań jest najważniejszym czynnikiem stanowiącym o możliwości kompleksowego zrozumienia podstaw logiki i jej działów nad nim nadbudowanych, i to autorowi udało się.
Rachunek predykatów został wyłożony nie mniej przystępnie, choć pod względem objętości raczej standardowo. „Na plus” zaliczyć należy umieszczenie tabeli tautologii kwantyfikatorów dla predykatów jedno- i dwuargumentowych wraz z ich omówieniem. Rozdział ten umieszczony został w 6. części książki, a powinien w 3., zaraz po Rozdziale 2 (Klasyczny rachunek zdań), aby zachować większą spójność i chronologię podręcznika.
Zagadnienia metalogiczne (Rozdział 3.) zostały przedstawione wyłącznie słownie, są tutaj takie zagadnienia jak: metajęzyk, wartościowanie zmiennych, spełnianie, niezależność aksjomatów, niesprzeczność, pełność syntaktyczna, zupełność (w sensie Posta) i rozstrzygalność. Nie mniej jednak brakuje podstawowych zagadnień dotyczących teorii modeli, m. in. takich jak model i interpretacja, jak ma to miejsce w książce „Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych” A. Tarskiego, a które dotyczą semantycznych zagadnień logiki. Bardzo wskazane byłoby umieszczenie w tym rozdziale, chociażby słownego, zdefiniowania najważniejszych twierdzeń metalogicznych KRZ i KRP (w postaci formalnej, bez dowodu), w tym tych limitacyjnych, których treść nie jest wcale trudna i nazbyt abstrakcyjna (niektóre z nich znalazły się w książce - oznaczę je "*"), a brzmi:
• twierdzenie o pełności funkcjonalnej KRZ: istnieją zestawienia funktorów logicznych, za pomocą których można zdefiniować wszystkie pozostałe funktory logiczne KRZ*
• twierdzenie o postaciach normalnych KRZ: każda formuła 𝐹 jest równoważna formule w tzw. koniunkcyjnej postaci normalnej i alternatywnej postaci normalnej*
• twierdzenie o pełności syntaktycznej KRZ: zbór tautologii 𝑇 jest równy zbiorowi konsekwencji aksjomatów 𝐴, tj. 𝑇 = 𝐶𝑛(𝐴)*
• twierdzenie (wersja Gödla) o pełności syntaktycznej KRZ: teoria 𝑇 jest niesprzeczna tylko wtedy, gdy posiada model przeliczalny
• twierdzenie o dedukcji (wprost) dla KRZ i KRP: [𝐹 ⊢ (α ⇒ β)] ⇔ [𝐹 ∪ {α} ⊢ β]
• twierdzenie o niesprzeczności (semantycznej) KRZ: zbiór formuł 𝐹 jest semantycznie niesprzeczny tylko wtedy, gdy istnieje wartościowanie, dla którego wszystkie formuły tego zbioru przyjmują wartość prawdy*
• twierdzenie o rozstrzygalności KRZ: istnieje algorytmy pozwalający, w skończonej liczbie prostych, mechanicznych kroków, ustalić czy dowolna formuła 𝐹 jest lub nie jest tautologią KRZ*
• twierdzenie o zupełności (w sensie Posta) KRZ: dowolny zbiór formuł F jest zupełny tylko wtedy, gdy dla dowolnej formuły (𝐹 ⊢ α) lub (𝐹 ⊢ ¬α)
• twierdzenie o zwartości KRZ:
- wersja syntaktyczna: zbiór formuł 𝐹 jest niesprzeczny tylko wtedy, gdy każdy jego podzbiór skończony jest niesprzeczny
- wersja semantyczna: zbiór formuł 𝐹 ma model tylko wtedy, gdy każdy jego podzbiór skończony posiada model
• twierdzenie o maksymalności KRZ: KRZ posiada własność maksymalności jeśli jest zupełny w sensie Posta
• lematu Lindenbauma: każda niesprzeczna teoria 𝑇 posiada niesprzeczne rozszerzenie zupełne
• twierdzenia Herbrandta, Robinsona, Craiga, Betha
• twierdzenia Churcha o nierozstrzygalności rachunku predykatów pierwszego rzędu (KRP): klasyczny rachunek predykatów pierwszego rzędu jest nierozstrzygalny
• I twierdzenie Gödla – o niezupełności arytmetyki Peana (KRP): każda niesprzeczna teoria 𝑇 zawierająca arytmetykę liczb naturalnych jest istotnie niezupełna, tzn. istnieją zdania w niej nierozstrzygalne, własność tą posiada również każde niesprzeczne rozszerzenie teorii 𝑇
• twierdzenie Rossera o niezupełności arytmetyki Peana (KRP): jeśli maszyna Löba, zawierająca arytmetykę Peana, może dowieść, że zdanie 𝑃 jest dowodliwe, to zdanie 𝑃 jest prawdziwe i jest w niej możliwe do dowiedzenia
• II twierdzenie Gödla – o niedowodliwości niesprzeczności arytmetyki Peana w niej samej (KRP): w każdej niesprzecznej teorii 𝑇 zawierającej arytmetykę liczb naturalnych nie można dowieść jej własnej niesprzeczności − wymaga to środków silniejszych niż teoria 𝑇
• twierdzenia Tarskiego o niedefiniowalności pojęcia prawdy (KRZ i KRP): jeśli teoria 𝑇 jest niesprzeczna, to nie istnieje w niej definicja prawdziwości, tzn. zbiór zdań prawdziwych teorii 𝑇 nie jest definiowalny w 𝑇
• twierdzenie Löba (KRP): każde dwa zdania Henkina (stwierdzające swoją własną dowodliwość) są równoważne w arytmetyce Peana
• twierdzenia Löwenheima-Skolema (KRP): teoria 𝑇 pierwszego rzędu posiada model przeliczalny tylko wtedy, gdy posiada model dowolnej mocy nieskończonej.
Skąpo i mało przystępnie przedstawione zostały w tym fragmencie książki postacie reguł wnioskowania – normalnej i niezawodnej, co poza tym powinno umieszczone być w rozdziale dotyczącym KRZ. Na pochwałę zasługuje natomiast fragment omawiający sprawdzanie niezależności poszczególnych aksjomatów sytemu, na przykładzie przyjętej Hilberta-Bernaysa aksjomatyki KRZ, choć można byłoby to zrobić nieco bardziej przystępnie.
Nie odniosę się natomiast rozdziału „Nazwy i pojęcia”, z mojego, „niehumanistycznego” punktu widzenia, jest on zupełnie zbędny, są to zagadnienia skierowane prawie wyłącznie dla humanistów.
Rozdział „Kolektywy i zbiory” zawiera charakterystykę elementarnych pojęć nieaksjomatycznej (tzw. naiwnej) teorii mnogości. Na pewno pomocny okazać się on może przy okazji nauki podstaw matematyki na kierunkach filozoficznych (chyba taki przedmiot tam mają?!). Rozdział ten kończy się dość dziwnie, bo zagadnieniami klasyfikacji nauk, bardziej odpowiednie byłoby umieszczenie tego fragmentu w rozdziale „Nazwy i pojęcia” lub rozdziale „O rozumowaniach”.
Rozdział „O teorii relacji” jest kontynuacją zagadnień teoriomnogościowych. Pojawia się tutaj charakterystyka takich pojęć jak iloczyn kartezjański, relacja, typy relacji, dziedzina, przeciwdziedzina, klasa abstrakcji, iloczyn względny oraz ważne – izomorfizm (bijekcja) i homomorfizm (funkcja). Uważam, że w rozdziale tym zabrakło umieszczenia i charakterystyki słownej teoriomnogościowych aksjomatów Zermela-Fraenkla (+ aksjomat wyboru), które są dzisiaj standardowym systemem aksjomatycznej teorii mnogości i podstawą całej matematyki.
Za niepotrzebny uważam rozdział „Zastosowanie teorii relacji”, nie ma tam nic istotnego, i co nie znalazłoby się w rozdziale poprzednim. Ponadto jest on dziwnym misz-maszem słownej i skąpej charakterystyki teorii modeli (?) oraz teorii informacji. Gdzie tę pierwszą należałoby umieścić w rozdziale „Zagadnienia metalogiczne”.
Kolejny rozdział „Definicje” powinien być, wraz z rozdziałem „Nazwy i pojęcia”, scalony w jeden – zagadnienia te uzupełniają się. Ponadto, jak to już miało miejsce, nie leży on w kręgu moich zainteresowań.
Ostatni rozdział dotyczy szeroko pojętych rozumowań, w tym wnioskowań: dedukcyjnego, redukcyjnego, indukcyjnego oraz przez analogię. W porównaniu do reszty rozdziałów, jest on dość mętny, autor nagle przeskakuje od dedukcji, na przykładzie KRZ, do indukcji na przykładzie KRP, sama indukcja i jej rodzaje – enumeracyjna i nieskończona, również nie grzeszy przejrzystością wyjaśnienia.
Przedostatnią częścią książki są dodatki – A i B. Pierwszy zawiera zagadnienia kategorii znaczeniowych, i również, połączyłbym go z rozdziałem „Nazwy i pojęcia”, które uzupełniają się. Dodatek B to noty biograficzne, w dobie internetu zupełnie niepotrzebne.
Książka kończy się tekstami – A i B. Pierwszy to przetłumaczony fragment tekstu Lewisa Carolla „Co żółw powiedział Achillesowi” oraz fragment monografii „Elementy logiki matematycznej” J. Łukasiewicza, i z którą miałem, raczej wątpliwą, przyjemność zapoznać się. Pojęcia nie mam jaki cel przyświecał autorowi w umieszczeniu ich, szczególnie pierwszego w książce, nie wnosi on do niej nic, co byłoby potrzebne do nauki logiki, na szczęście zawiera niecałe pięć stron. Co do drugiego tekstu można już dyskutować, choć i bez niego książka nie straciłaby nic na swojej wartości.
Ponadto autorowi nie udało się, niestety, uniknąć kilkunastu błędów:
• notoryczne używanie niepoprawnego językowo zwrotu „… wtedy i tylko wtedy, gdy…” – nie rozumiem dlaczego w prawie każdej książce do matematyki i logiki używane jest to niepoprawne sformułowanie, to analogiczny przykład do sformułowania „cofnij się do tyłu”, a przecież wystarczy napisać: „… tylko wtedy, gdy…” i oznacza to dokładnie to samo, bez dublowania słowa „wtedy”
• str. 20., 2. wiersz od dołu – jest: „… komputerów elektrycznych…”powinno być: „… komputerów elektronicznych…”
• str. 39., 2-1. wiersz od dołu – jest: „… [implikacja] nie oznacza żadnego wynikania…”, a na str. 40/41 – jest: „… ze zdania fałszywego wynika dowolne zdanie…”
• str. 40., 6. wiersz od góry – jest: „…, nie uznajemy za prawdziwe połączenie prawdziwego następnika z fałszywym poprzednikiem…” – powinno być: „…, uznajemy za prawdziwe połączenie prawdziwego następnika z fałszywym poprzednikiem…”
• str. 40., 11. wiersz od góry – jest: „… uznane na mocy definicji ekstensjonalnego funktora implikacji akceptują wszystkie… wnioskowania…” – powinno być: „… uznane na mocy definicji ekstensjonalnego funktora implikacji akceptują wszystkie… wynikania…”
• str. 43., 7. wiersz od dołu – jest: „… funktorów zdaniotwórczych od argumentów nazwowych…” – powinno być: „… funktorów zdaniotwórczych od argumentów zdaniowych…”
• str. 46., 7. wiersz od dołu – jest: „…, że wszystkie funktory jednoargumentowe da się zastąpić negacją bądź negacją lub alternatywą…” – powinno być: „…, że wszystkie funktory dwuargumentowe da się zastąpić negacją bądź negacją lub alternatywą…”
• str. 50., 3. wiersz od góry – jest: „…, zawiera trzy stałe logiczne (negację, alternatywę i implikację)…” – powinno być: „…, zawiera pięć stałych logicznych (negację, alternatywę, koniunkcję, implikację i równoważność)…”
• str. 52., 10. wiersz od dołu – jest: „Na podstawie reguły odrywania uznajemy poprzednik implikacji, o ile uprzednio uznaliśmy całą całą implikację i jej poprzednik.” – powinno być: „Na podstawie reguły odrywania uznajemy następnik implikacji, o ile uprzednio uznaliśmy całą całą implikację i jej poprzednik.”
• str. 57., 5. wiersz od dołu – jest: „𝘗⇒(~𝑝⇒𝑞).” – powinno być: „𝑝⇒(~𝑝⇒𝑞).”
• str. 63., 11. i 14. wiersz od góry – jest: „… Peany…” – powinno być: „… Peana…”
• str. 75., 3. wiersz od góry – jest: „… jest nienormalna…” – powinno być: „… nie jest normalna…”
• str. 76 i 77., autor pisze, że „… pełność KRZ osłabia się do pełności semantycznej (to, co prawdziwe da się dowieść)…”, nie jest to prawda, ponieważ w praktyce logicznej postępuje się odwrotnie, z pełności syntaktycznej, tzn. 𝑇 = 𝐶𝑛(𝐴) automatycznie wynika (formalnie – jest równoważna) pełność semantyczna, tj. (𝐹 ⊢ α) ⇔ (𝐹 ⊨ α).
• str. 102., 20. wiersz od dołu – jest: „… nietautologie…” – powinno być: „… kontrtautologie…”
• str. 136., 12. wiersz od dołu – jest: „… ∃ₓ𝑃(𝑥)…” – powinno być: „… ∀ₓ𝑃(𝑥)…”
• str. 179., 3-4. wiersz od dołu – jest: „… pierwsza współrzędna (rzędna), zaś druga współrzędna (odcięta)…” – powinno być: „… pierwsza współrzędna (odcięta), zaś druga współrzędna (rzędna)…”
• str. 183., 10. wiersz od góry – jest: „… 𝘋′𝑅…” – powinno być: „… Ď′𝑅…”
• str. 240., 2-5 wiersz od góry jest: „… w przypadku dedukcyjnym uznajemy jeszcze jej poprzednik, a odrywamy następnik, natomiast w przypadku redukcyjnym uznajemy następnik, a odrywamy poprzednik.” – powinno być: „… w przypadku dedukcyjnym uznajemy jeszcze jej następnik, a odrywamy poprzednik, natomiast w przypadku redukcyjnym uznajemy poprzednik, a odrywamy następnik.”.
Nie podoba mi się również treść niektórych przykładów i zadań, np. nawiązujących do ustrojów politycznych, gdzie autor wyraża, choć subtelnie, swoje silnie prawicowe poglądy polityczne, oraz religijność – w nocie biograficznej K. Gödla umieszcza informację, że podał on dowód ontologiczny istnienia boga – czy naprawdę jest to Jego najważniejsze osiągnięcie w logice formalnej?! Poza tym umieszcza przykłady zadań z treścią o paleniu czarownic, rzucaniu uroków na bydło sołtysa oraz niedorozwoju umysłowym dzieci. Tego typu treści są, co najmniej, niestosowne, szczególnie w książce do logiki.
Jak już wspomniałem –w książce na pewno da odczuć się brak podania, przynajmniej słownej, charakterystyki, względnie też formuł i dowodów najważniejszych twierdzeń (meta)logicznych, które zostały wymienione powyżej, a także elementarnych zagadnień teorii modeli.
Podsumowując – zdecydowałem się na tak długą recenzję ponieważ książka ta jest pierwszym przeczytanym przeze mnie podręcznikiem przeznaczonym do nauki logiki formalnej, i tym samym wyznacza mi ona pewien punkt odniesienia wobec reszty podręczników logiki, które obecnie czytam i przeczytać zamierzam. Czy udało mi się dzięki niej poznać podstawy logiki formalnej? Zdecydowanie. Czy polecam ją jako pierwszą książkę do nauki logiki? Bez wątpienia tak, choć może niekoniecznie prawnikom, bardziej już filozofom, a na pewno „ścisłowcom” – choć Ci mogą czuć po jej przestudiowaniu pewien „niedosyt formalny”. Dzięki niej będę mógł pogłębiać arkana tej nauki, ale już w typowo matematycznej odmianie, studiując pozycje obszerniejsze (A. Rutkowski, J. Słupecki, Z. Adamowicz/P. Zbierski, T. Batóg, K. Trzęsicki, L. Borkowski, A. Grzegorczyk i W. A. Pogorzelski), przechodząc kolejno do metamatematyki (R. Murawski, A. Grzegorczyk, W. A. Pogorzelski), teorii modeli (A. Grzegorczyk. W.A. Pogorzelski, A. Piękosz), kończąc na teorii mnogości (H. Rasiowa, B. Grell, P. Guzicki/W. Zakrzewski, K. Kuratowski/A. S. Mostowski, A. Błaszczyk/S. Turek), ta ostatnia jest dla mnie najbardziej abstrakcyjna, a tym samym trudna. Mimo niewielkich wad – niestosowna treść części zadań, kilka niepotrzebnych rozdziałów, rozmieszczenie w niektórych z nich treści, manifestowanie religijności/sympatii politycznych, kilkanaście błędów oraz brak wspomnianych formuł i dowodów najważniejszych twierdzeń (meta)logicznych, w żadnym wypadku nie przekreślają tej wartościowej książki, a trafnie dobrany materiał czyni ją atrakcyjnym podręcznikiem do początkowego etapu nauki logiki klasycznej.

Książka ta jest pierwszym podręcznikiem, poprzez który zetknąłem się logiką i jako taki, w zamierzeniu autora, przeznaczony jest głównie dla studentów kierunków humanistycznych, choć jak sam zaznaczył – nie chciał powielać istniejących już na rynku podręczników. Wybór jej na pierwszą lekturę podyktowany został względami raczej pragmatycznymi, aniżeli opiniami czy rankingami...

Pełną wersję książki można bezpłatnie przeczytać na oficjalnym i legalnym źródle pod poniższym odnośnikiem:

http://archiwum.wfis.uw.edu.pl/bibfis/archiwalia/tarski-alfred-pojecie-prawdy-w-jezykach-nauk-dedukcyjnych/

Pełną wersję książki można bezpłatnie przeczytać na oficjalnym i legalnym źródle pod poniższym odnośnikiem:

http://archiwum.wfis.uw.edu.pl/bibfis/archiwalia/tarski-alfred-pojecie-prawdy-w-jezykach-nauk-dedukcyjnych/

Pełną wersję książki można bezpłatnie pobrać z oficjalnego i legalnego źródła pod poniższym odnośnikiem:

http://rcin.org.pl/Content/47981/WA004_47184_P83342_Czarnocka-Droga_oh.pdf

Pełną wersję książki można bezpłatnie pobrać z oficjalnego i legalnego źródła pod poniższym odnośnikiem:

http://rcin.org.pl/Content/47981/WA004_47184_P83342_Czarnocka-Droga_oh.pdf

Pełną wersję książki można bezpłatnie pobrać z oficjalnego i legalnego źródła pod poniższym odnośnikiem:

http://bcpw.bg.pw.edu.pl/Content/1698/Logika-dla-inzynierwow.pdf

Pełną wersję książki można bezpłatnie pobrać z oficjalnego i legalnego źródła pod poniższym odnośnikiem:

http://bcpw.bg.pw.edu.pl/Content/1698/Logika-dla-inzynierwow.pdf

Jest to druga książka autorstwa R. Murawskiego, którą miałem przyjemność przeczytać. Recenzja dotyczy wydania II, z roku 2001, nakładem Wydawnictwa Naukowego PWN. Treść jej dotyczy przekroju filozofii matematyki, rozwijanej na przestrzeni prawie 2500 lat, i składa się z dwóch części oraz Dodatku.
Część pierwsza przedstawia pokrótce filozoficzne poglądy na matematykę, kolejno, takich uczonych jak: Platon, Arystoteles, Euklides, Proklos, Mikołaj z Kuzy, Kartezjusz, Blaise Pascal, G.W. Leibniz, I. Kant, B. Bolzano, J. S. Mill, R. Dedekind, G. Cantor, H. Poincaré. Dorobek matematyczny większości z powyższych uczonych bardziej znaczący dla niej samej, niż jej filozofii oraz filozofii w ogóle. Dlatego ta część książki nie jest specjalnie ciekawa i można pominąć ją, bez uszczerbku dla reszty jej treści.
Część druga traktuje o współczesnych kierunkach filozofii matematyki, takich jak, kolejno, logicyzm, intuicjonizm/konstruktywizm, formalizm oraz kierunki rozwijane po roku 1931, czyli po opublikowaniu przełomowej pracy K. Gödla (o niezupełności Peana arytmetyki liczb naturalnych i systemów bogatszych oraz niedowodliwości niesprzeczności w niej samej). Oprócz opisu powyższych kierunków autor scharakteryzował główne założenia ich systemów matematycznych (s)tworzonych/odkrytych przez ich głównych przedstawicieli: logicyzm – G. Fregge, B. Russel, A. Whitehead, G. Peano; intuicjonizm/konstruktywizm – L. Brouwer, A. Heytig, A. Kołmogorow, L. Kronecker, E. Bishop; formalizm - D. Hilbert, H. Curry.
I tak, założenia formalne logicyzmu opisane zostały na przykładzie teorii typów logicznych stworzonych (odkrytych) przez B. Russela i A. Whiteheada i zawartych w dziele „𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑎 𝑚𝑎𝑡ℎ𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎”, intuicjonizm/konstruktywizm na przykładzie skonstruowanej przez J. Brouwera i jego następców logiki intuicjonistycznej (odrzucającą metodę aksjomatyczną – nie wystarczy postulować istnienie obiektów, ale należy podać ich konstrukcję), systemu arytmetyki pierwotnie rekurencyjnej (𝑃𝑅𝐴) stosowanego dzisiaj w tzw. matematyce odwrotnej (!) oraz teorii rekursji (rachunek λ, klasa funkcji obliczalnych). Formalizm dotyczy oczywiście D. Hilberta programu unifikacji matematyki, przy użyciu metod finitystycznych, a dla którego (wystarczającym) warunkiem poprawności jest niesprzeczność systemu. Dzięki rozwojowi swojego programu stworzył D. Hilbert taką dyscyplinę matematyki jak metamatematyka (inaczej teoria dowodu). Program ten w zasadzie załamał się po opublikowaniu przez K. Gödla pracy o niezupełności (I tw. Gödla), a następnie udowodnieniu przez samego D. Hilberta niedowodliwości jej niesprzeczności w niej samej (II tw. Gödla). Późniejsze prace matematyków pokazały, że program D. Hilberta, da się jednak częściowo zrealizować przy pomocy wspomnianej już matematyki odwrotnej (dla arytmetyki II rzędu). Ostatnie fragmenty części drugiej nowych kierunków filozofii matematyki, takich jak empiryzm, 𝑞𝑢𝑎𝑠𝑖-empiryzm (I. Lakatosa antyfundacjonizm) oraz realizm (P. Maddy, S. Saphiro).
Dodatek zaczyna się krótką charakterystyką filozoficznych zagadnień teorii mnogości w ujęciu historycznym, począwszy od jej stworzenia/odkrycia przez G. Cantora, z krótkim omówieniem jego prac, oraz trudności jakie napotkali matematycy po odkryciu w niej antynomii (największej liczby porządkowej, zbioru wszystkich zbiorów i klas niezwrotnych) przed jej zaksjomatyzowaniem. Pierwotną, nieaksjomatyczną (antynomijna) teorię mnogości G. Cantora, obecnie określa się jako naiwną teorię mnogości. Przełomowym momentem było podanie przez E. Zermela jej aksjomatyki, którą następnie A. Fraenkel i T. Skolem uzupełnili o dodatkowe aksjomaty, tym samy powstała w pełni zaksjomatyzowana, jak dotąd niesprzeczna, teoria mnogości (Zermela-Fraenkla), będąca dzisiaj powszechnie przyjmowaną i najczęściej stosowaną aksjomatyką, która stanowi fundament całej matematyki klasycznej. Za najciekawszy fragment, nie tylko Dodatku, ale i całej książki uważam ten dotyczący aksjomatu wyboru (𝐴𝐶), z jednej strony będący źródłem paradoksów (Banacha-Tarskiego; lecz nie antynomii!), z drugiej niezbędny do wyprowadzenia dowodów takich twierdzeń analizy jak: twierdzenie Tichonowa, Hahna-Banacha, lematu Urysohna, dowód istnienia liczb mierzalnych w sensie Lebesgue'a, równoważności definicji ciągłości funkcji Cauchy'ego i Heinego. Aksjomat ten różni się od reszty aksjomatów 𝑍𝐹 tym, że jest niekonstruktywny. 𝐴𝐶 nierozerwalnie wiąże się z hipotezą continuum (𝐶𝐻), sformułowaną już przez G. Cantora. W roku 1938 K. Gödel (a jakże!) udowodnił niesprzeczność 𝐴𝐶 i 𝐶𝐻 z resztą aksjomatów 𝑍𝐹, ale dopiero w roku 1963 P. Cochen, przy użyciu tzw. forsingu, udowodnił niezależność 𝐴𝐶 i 𝐶𝐻 od aksjomatyki 𝑍𝐹, oraz, że 𝐶𝐻 nie wynika z 𝐴𝐶 i odwrotnie. W związku w powyższymi trudnościami ze stosowaniem 𝐴𝐶 zaczęto szukać dla niego alternatyw, okazał się nią aksjomat determinancji Mycielskiego-Steinhausa (𝐴𝐷), którego problem niesprzeczności z pozostałymi aksjomatami 𝑍𝐹 jest nadal otwarty, choć z jednej z konsekwencji 𝐴𝐷 wynika, że jest on sprzeczny z 𝐴𝐶. Na korzyść 𝐴𝐶 przeważa fakt, że jest on ogólną zasadą teoriomnogościową dotyczącą pojęcia zbioru w ogólności, natomiast 𝐴𝐷 nią nie jest, ponieważ dotyczy on przestrzeni Baire'a ω ꙻ i nie może być uogólniony na wszystkie klasy zbiorów, bez popadnięcia w sprzeczność. Przy okazji omawiania 𝐴𝐶 i 𝐶𝐻 warto wspomnieć o twierdzeniu Kreisla, mówiącym, że dołączenie do aksjomatyki 𝑍𝐹 𝐴𝐶 i 𝐶𝐻 nie daje żadnych nowych informacji o liczbach naturalnych (I tw. Gödla), których nie dawałaby arytmetyka Peana. Ta część książki świetnie pokazuje, że podstawy matematyki, niestety, nie są tak pewne i oczywiste, jak mogłoby to wydawać się na etapie szkolnej edukacji, gdzie jawi się ona jako nauka całkowicie pewna i niepodważalna
Podsumowując – jest to ciekawa książka, będąca krótkim przekrojem historii filozofii matematyki oraz stanowiąca filozoficzną refleksję nad problemami jej teoriomnogościowych podstaw, szkoda, że Autor nie do końca szczęśliwie podzielił objętość treści na poszczególne zagadnienia - część pierwszą można było nawet usunąć, a przynajmniej uszczuplić, i w jej miejsce bardziej rozwinąć zagadnienia charakteryzujące inne niż 𝑍𝐹 systemy aksjomatyczne teorii mnogości, zagadnienia niesprzeczności i (nie)zupełności (w tym niezupełności Peana arytmetyki liczb naturalnych – I tw. Gödla). Jeśli chodzi o porównanie tej książki z książką J. Dadaczyńskiego „Filozofia matematyki w ujęciu historycznym”, to uważam, że ta druga jest trochę lepsza, przede wszystkim z powodu obszerniej potraktowanego materiału, choć brakuje w niej 𝑝𝑜𝑠𝑡-Gödlowskiego okresu rozwoju (filozofii) matematyki oraz, że tematykę kategoryzuje bardziej pod kątem określonych prądów filozofii matematyki w perspektywie czasowej, a nie stanowisk konkretnych matematyków/filozofów.
𝑃𝑆 za ewentualne spoilowanie jednej z części książki z góry przepraszam, ale musiałem dać upust swojej fascynacji tą tematyką, oraz nieco nakreślić jej zagadnienia osobom, które, z jakichś powodów, nie będą mogły jej przeczytać.
𝑃𝑆2 przy okazji tej recenzji chciałbym bardzo serdecznie podziękować Panu prof. Murawskiemu za podarowanie mi (tak, bezpłatnie!) 4 książek (w tym tej) Jego autorstwa, wraz z dedykacją!

Jest to druga książka autorstwa R. Murawskiego, którą miałem przyjemność przeczytać. Recenzja dotyczy wydania II, z roku 2001, nakładem Wydawnictwa Naukowego PWN. Treść jej dotyczy przekroju filozofii matematyki, rozwijanej na przestrzeni prawie 2500 lat, i składa się z dwóch części oraz Dodatku.
Część pierwsza przedstawia pokrótce filozoficzne poglądy na matematykę,...

Książka jest mocno filozoficznym sadyzmem nad filozofią logiki, lecz w niewielkim tylko stopniu nad jej formalizmem, z ewidentnymi inspiracjami marksizmem-leninizmem i notorycznymi do niego odniesieniami (co takiego w ogóle osiągnęli Marks, Engels i Lenin w dziedzinie logiki formalnej?!). Bardzo razi fakt, że autor (filozof) znajomością logiki (głównie: klasyczny rachunek zdań i predykatów) ewidentnie nie grzeszy, poddając, nierzadko błędnej, analizie filozoficznej różne stanowiska odnośnie logiki, formułując niebyt udolnie własne. Samą logikę nazywa logistyką. Poza tym jest kilka błędów (nie wiem czy ze strony autora, czy tłumacza, a których nie ma w dołączonej erracie), np.: w efekcie fotoelektrycznym warunkiem wybicia elektronów jest określona częstotliwość padającej (na metal) fali elektromagnetycznej, a nie jej natężenie, G.W. Leibniz i I. Newton odkryli rachunek całkowy, a nie rachunek całkowity (sic!). Najbardziej rażącym błędem autora jest całkowite niezrozumienie twierdzeń Gödla i syntezie ich w jedno twierdzenie, które zdefiniował: „zupełności i niesprzeczności tych systemów, które mogą służyć do udowodnienia matematyki, nigdy nie można udowodnić wewnątrz samych systemów, o których mowa.” Podam jedynie ich poprawną definicję, aby można było zobaczyć tę rażącą niekompetencję autora: I tw. Gödla mówi o niezupełności Peana arytmetyki liczb naturalnych i systemów bogatszych, II tw. mówi o niedowodliwości niesprzeczności Peana arytmetyki liczb naturalnych w niej samej. Widać różnicę, prawda? Jako przykład niesprzecznych i zupełnych systemów aksjomatycznych podać można chociażby system liczb rzeczywistych oraz geometrię elementarną. Przeraża więc fakt, że książka ta została zaakceptowana przez recenzentów dysertacją doktorską autora. Interpretację poprawnie zdefiniowanych twierdzeń Gödla, przytoczyłem przy okazji recenzji (bardzo dobrej z resztą) książki prof. R. Murawskiego „Szkice z filozofii i historii matematyki i logiki” oraz „Z historii logiki i filozofii matematyki”, do których przeczytania gorąco zachęcam.
Tłumaczem książki jest B. Stanosz – polska logik, autorka kilku podręczników logiki formalnej, więc powyższe błędy są tym bardziej rażące, no chyba, że tłumacz nie może sobie pozwolić na ich korektę, aby nie zmieniać pierwotnej treści książki, wtedy jestem w stanie usprawiedliwić samego tłumacza.
W związku z powyższymi wadami, czy książka ma w ogóle jakieś zalety? W zasadzie jedną – historyczny opis rozwoju logiki na przełomie wieku XIX i XX i do tej części, i choć nie jest zbyt spójna, to nie można mieć większych zastrzeżeń, poza tym, że stanowi jedynie niewielką część książki. Niestety to za mało nawet na neutralną ocenę - książka jest po prostu słaba i wcale nie dziwię się, że nie wzbudziła prawie żadnego zainteresowania w tej tematyce. Dlatego też nie polecam jej, może z wyjątkiem zagorzałych filozofów, którzy z logiki (formalnej) orłami nie byli, a chcieliby nieco douczyć się o niej samej, w kontekście jej filozofii i historii, choć w tej tematyce są, bez wątpienia, deklasujące ją pozycje (por. B. Czernecka-Rej, P. Garbacz, S. Kiczuk).

Książka jest mocno filozoficznym sadyzmem nad filozofią logiki, lecz w niewielkim tylko stopniu nad jej formalizmem, z ewidentnymi inspiracjami marksizmem-leninizmem i notorycznymi do niego odniesieniami (co takiego w ogóle osiągnęli Marks, Engels i Lenin w dziedzinie logiki formalnej?!). Bardzo razi fakt, że autor (filozof) znajomością logiki (głównie: klasyczny rachunek...

Tematyka książki oscylujące wokół szeroko pojętych podstaw matematyki oraz jej filozofii. Zagadnienia przedstawione są w postaci 18 artykułów. W mojej opinii najciekawsze są te traktujące o programie formalizmu D. Hilberta, a przede wszystkim o odkryciach K. Gödla, które, w zasadzie, spowodowały upadek tego programu. I twierdzenie Gödla dotyczy niezupełności Peana arytmetyki liczb naturalnych i systemów bogatszych, które przedstawił Autor na przykładzie ciągu Goodsteina, będącego twierdzeniem matematycznym, i którego treść jest kombinatoryczna i teorioliczbowa (Paris, Harrington, Kiryby), a nie poprzez arytmetyzację składni tak, jak pierwotnie zrobił to K. Gödel, otrzymując twierdzenie metamatematyczne, czyli w pewnym sensie spoza samej matematyki. II twierdzenie Gödla dotyczy niedowodliwości niesprzeczności Peana arytmetyki liczb naturalnych w niej samej. Z twierdzeń tych płyną bardzo istotne wnioski, pierwszy to, że istnieje pewna ograniczoność poznawcza aksjomatyczno-dedukcyjnych systemów formalnych (Gödel), a tym samym istnieją granice formalizacji w matematyce, drugi to, że w matematyce nie istnieją absolutne dowody niesprzeczności (Gödel), trzeci to, że istnieje nieograniczona ilość prawd matematycznych, z czego wynika, że komputer nigdy nie zastąpi człowieka (matematyka), czwarty, to, że dowody przedstawionych twierdzeń o zdaniach nierozstrzygalnych danych teorii używają modeli niestandardowych, w sposób niekonstruktywny, czyli bez podania informacji na temat samego modelu aksjomatycznego (i jego liczb), co niekoniecznie jest interesujące dla „typowych matematyków” (teorioliczbowców), gdyż ich interesuje prawdziwość, względnie dowodliwość (co nie jest tożsame!) zdań w standardowym (zamierzonym) modelu liczb naturalnych, czyli modelu 𝔑₀ = ⟨ℕ, 0, 𝑆, +, ⋅⟩. Oczywiście samo pojęcie „model standardowy” (w sensie matematycznym!), nie tylko arytmetyczny bądź teorioliczbowy, są kwestią umowną (choć niecałkowicie dowolną!), tym niemniej w środowisku matematyków panuje zgoda, że twierdzenia (i otrzymywane z nich zdania) dowodzi się na gruncie teoriomnogościowego modelu Zermela-Fraenkla z aksjomatem wyboru (𝑍𝐹𝐶), który stanowi podstawę pozostałych działów matematyki. Póki co, nie udało się znaleźć zdań o treści matematycznej, nierozstrzygalnych na gruncie 𝑍𝐹𝐶+𝑃𝐴 (zbiór zdań o l. naturalnych dowodliwych w 𝑍𝐹𝐶) poza kilkoma przykładami zdań metamatematycznych.
Książka jest napisana bardzo precyzyjne (w nomenklaturze statystyki matematycznej – dokładnie), ale jednocześnie wyjątkowo przystępnie. Zdecydowanie polecić mogę książki prof. R. Murawskiego, które poruszają najważniejsze problemy podstaw matematyki, bardzo cieszy mnie fakt, że wypełniają one tę niszę tematyczną na polskim rynku wydawniczym, dając jednocześnie możliwość, nawet matematycznemu laikowi, poznawanie tajemnic podstaw Królowej Nauk, mimo, iż poruszają tematykę dość trudną, i poza niewielkimi fragmentami typowo formalnymi, dotyczącymi głównie I twierdzenia Gödla, powinna być zrozumiała nawet dla tzw. „humanistów”.
𝑃𝑆 za ewentualne „spoilowanie” części jednego z artykułów z góry przepraszam, ale musiałem dać upust swojej fascynacji tą tematyką, oraz nieco nakreślić jej zagadnienia osobom, które, z jakichś powodów, nie będą mogły przeczytać, tej bardzo dobrej, książki, a także filozofom, nierzadko nadinterpretującym twierdzenia Gödla, co wynika z ich niezrozumienia.
𝑃𝑆 2 przy okazji tej recenzji chciałbym bardzo serdecznie podziękować Panu prof. Murawskiemu za podarowanie mi (tak, bezpłatne!) 4 książek Jego autorstwa, wraz z dedykacją!

Tematyka książki oscylujące wokół szeroko pojętych podstaw matematyki oraz jej filozofii. Zagadnienia przedstawione są w postaci 18 artykułów. W mojej opinii najciekawsze są te traktujące o programie formalizmu D. Hilberta, a przede wszystkim o odkryciach K. Gödla, które, w zasadzie, spowodowały upadek tego programu. I twierdzenie Gödla dotyczy niezupełności Peana...

Pełną wersję książki można bezpłatnie pobrać z oficjalnego i legalnego źródła pod poniższym odnośnikiem:

http://bacon.umcs.lublin.pl/~lukasik/wp-content/uploads/2018/03/Andrzej-%C5%81ukasik-Filozoficzne-zagadnienia-mechaniki-kwantowej-pdf.pdf

Pełną wersję książki można bezpłatnie pobrać z oficjalnego i legalnego źródła pod poniższym odnośnikiem:

http://bacon.umcs.lublin.pl/~lukasik/wp-content/uploads/2018/03/Andrzej-%C5%81ukasik-Filozoficzne-zagadnienia-mechaniki-kwantowej-pdf.pdf

Pełną wersję książki można bezpłatnie pobrać z oficjalnego i legalnego źródła pod poniższym odnośnikiem:

https://www.researchgate.net/profile/Piotr_Francuz/publication/259762088_Liczby_nie_wiedza_skad_pochodza_Przewodnik_po_metodologii_i_statystyce_nie_tylko_dla_psychologow_Numbers_do_not_know_where_they_come_from_A_guide_through_methodology_and_statistics_not_only_for_psycho/links/57a8389308aefe6167bc8d5c/Liczby-nie-wiedza-skad-pochodza-Przewodnik-po-metodologii-i-statystyce-nie-tylko-dla-psychologow-Numbers-do-not-know-where-they-come-from-A-guide-through-methodology-and-statistics-not-only-for-psycho.pdf?origin=publication_detail

Pełną wersję książki można bezpłatnie pobrać z oficjalnego i legalnego źródła pod poniższym...