π razy drzwi. Szkice o liczeniu, myśleniu i istnieniu

Oczekiwałem czegoś bardziej nastawionego na przedstawienie sposobów myślenia i dochodzenia do przełomowych hipotez i teorii a tym czasem to bardziej filozoficzna książka o tym czym naprawdę jest matematyka, czy jest logiczna, oraz czy matematykę odkrywamy czy może ją tworzymy na potrzeby poznania i opisu otaczającego nas świata.

Oczekiwałem czegoś bardziej nastawionego na przedstawienie sposobów myślenia i dochodzenia do przełomowych hipotez i teorii a tym czasem to bardziej filozoficzna książka o tym czym naprawdę jest matematyka, czy jest logiczna, oraz czy matematykę odkrywamy czy może ją tworzymy na potrzeby poznania i opisu otaczającego nas świata.

Co o matematyce sadzą sami matematycy? Skąd ona według nich pochodzi? Czy oni ją wymyślają, czy odkrywają? Czy w opisie ilościowym świata, inna nauka mogłaby ją zastąpić? W jakiej jest ona relacji do świata rzeczywistego?

Fizyk matematyczny John Barrow w książce "Pi razy drzwi. Szkice o liczeniu, myśleniu i istnieniu" prześwietlił matematykę pod kątem tych pytań. Zabrał czytelnika w świat liczb, starożytnych problemów geometrycznych i współczesnych fundamentalnych pytań o granice matematyki. Bardzo cenne wydały mi się partie, w których autor pokazał XX-wieczne dylematy matematyków i spory o poprawny sposób jej uprawiania. Matematyka to żywa nauka, która jest czymś więcej niż przypisywaniem elementom świata nas otaczającego etykiet liczbowych, formuł. Przenika świat swoją niedościgłą logika i ścisłością. Nie jest jednak sama siebie pewna.

Kluczowe problemy, które rozważa Barrow, koncentrują się wokół ustaleń Kurta Gödla, który wykazał jej niedoskonałości. Matematyka jest wystarczająco pojemna w metody, by określać swoje granice. Ponadto okazuje się, że tę słabość można przekuć w siłę nowych wyzwań intelektualnych, które absorbują teoretyków od kilkudziesięciu lat.

Układ książki jest dość czysty w formie. Pierwsze 30% tekstu, to świetna panorama historycznego rozwoju sposobów liczenia i dyskusja nad użytkowymi walorami tej nauki. Autor nie szczędzi jednoznacznych przykładów pomysłowości ludzkiej, która pozwoliła przypisać obiektom materialnym reprezentacje liczbowe. W efekcie człowiek nabywał biegłości w abstrakcyjnym myśleniu. Ta część świetnie zdaje relację z podstaw naszego sukcesu w świecie przyrody. Pozostałe 70% tekstu, to dyskusja nad kondycją samej matematyki. Barrow staje się w tej części bardziej filozoficzny i wymaga od czytelnika większej uwagi. Rozważa kilka konkurencyjnych prądów myślowych, które wypracowali badacze przez lata do opisu tego, co robią. Pochyla się nad konstruktywizmem, formalizmem, intuicjonizmem i inwencjonizm by pokazać, jak rożnie można 'czuć' matematykę. Spory fragment końcowy, to dyskusja nad platonizmem, czyli najpopularniejszą wizją matematyki, w której jest ona odkrywana. W tym podejściu, wszystkie jej struktury istnieją gdzieś, a ludzie muszą je tylko wydobyć na światło dzienne.

Nie da się książki w sposób jednorodny zreferować, odnosząc się do każdego elementu, by opinia pozostała w miarę krótka. Chciałbym jedynie podziękować autorowi szczególnie za dwa fragmenty. Pierwszym jest dyskusja o kompresowalności i wynikających z niej różnych zastosowaniach matematyki w naukach ścisłych i społecznych (str. 234-237). Drugi fragment, to cudowna opowieść o dziedzictwie Georga Cantora, który okiełznał nieskończoność, pokazując jak należy ją rozumieć; a także kiedy może prowadzić nas na manowce (str. 293-308). Świetny esej intuicyjnie przyswajalny przez każdego.

Książka napisana jest językiem dość precyzyjnym, choć z licznymi 'udogodnieniami dla niewtajemniczonych'. Barrow bardzo szeroko szuka kulturowych korzeni matematyki. Pokazuje, czemu w tak na pozór spójnej nauce, dochodzi do kontrowersji. Z tego względu książka jest unikatowa - wymagając wyłącznie skupienia czytelnika (ale bez przesady) - pozwala na dotknięcie sedna pytań o sens matematyki, który absorbuje myśli jej twórców. To bardzo ambitny cel, który w większości opisanych problemów udał się jasno zasygnalizować.

Polubić matematykę, to wyzwanie dla większości z nas. Mogę jedynie każdego zachęcać do jej zgłębiania, na własnym poziomie i w dowolnym tempie. Barrow pięknie jej zalety opisał słowami (str. 416):

"Mistyk skłania się ku celebracji; matematyk celebruje pracę umysłową. Istotą matematycznej działalności jest możliwość powtórzenia jej zarówno przez tego samego człowieka, jak i przez innych ludzi. Nie ma żadnych gnostyckich tajemnic."

Polecam "Pi razy drzwi" każdemu, przede wszystkim tym, którzy matematykę odbierają, jako ciąg liczb i formuł kotłujących się na co dzień wyłącznie w umysłach ludzi chodzących z głową w chmurach.

Co o matematyce sadzą sami matematycy? Skąd ona według nich pochodzi? Czy oni ją wymyślają, czy odkrywają? Czy w opisie ilościowym świata, inna nauka mogłaby ją zastąpić? W jakiej jest ona relacji do świata rzeczywistego?

Fizyk matematyczny John Barrow w książce "Pi razy drzwi. Szkice o liczeniu, myśleniu i istnieniu" prześwietlił matematykę pod kątem tych pytań. Zabrał...

Książka J. Barrowa dotyczy szeroko pojętej matematyki, i bynajmniej nie mam tu na myśli tego, że jest to podręcznik do jej nauki. Jest to pozycja typowo popularnonaukowa, zawierająca wiele zagadnień bezpośrednio z nią związanych, które przedstawione są w sześciu rozdziałach.
Pierwszy znihc („Od misterium do historii”) dotyczy ogólnej refleksji nad matematyką jako nauką formalną, nie jest on specjalnie ciekawy, ponadto jest niezbyt spójny, więc można go po prostu pominąć.
Rozdział drugi („Kont(r)kultura rachunków, czyli kultura rachunków”) dość szczegółowo opisuje jak na przestrzeni wieków rozwijały się systemy liczbowe i sama czynność liczenia, jest on ciekawy, ponieważ łączy w sobie aspekty historyczne, kulturowe i antropologiczne, nie da się nie odczuć, że autor musiał zadać sobie niemałą ilość trudu, aby zgłębić dostępną w tym zakresie literaturę naukową i spójnie ją w nim przedstawić, jest to jeden z trzech najlepszych rozdziałów tej książki.
Trzeci rozdział („Forma bez treści”) zaczyna się od charakterystyki jednego z pierwszych programów programu unifikacji matematyki – logicyzmu, zakładający sprowadzenie jej do logiki, którego autorami byli G. Frege, B. Russell i A. N. Whitehead. Najobszerniejsza jego treść dotyczy tła historycznego programu D. Hilberta - formalizmu, który miał na celu unifikację, poprzez całkowitą aksjomatyzację matematyki klasycznej, dowodząc niesprzeczności arytmetyki liczb naturalnych, i z niej wyprowadzić wszystkie inne jej działy, przy użyciu metod wyłącznie finitystycznych. Warto zaznaczyć, że dla D. Hilberta niesprzeczność była warunkiem wystarczającym poprawności danego systemu aksjomatycznego. W odniesieniu do formalizmu, w rozdziale tym nie mogło również zabraknąć obszernego opisu przełomowych prac K. Gödla, w których wykazał on niezupełność arytmetyki liczb naturalnych (w aksjomatyce Peana) i systemów bogatszych, grzebiąc tym samym marzenia D. Hilberta o unifikacji całej matematyki klasycznej, i uświadamiając matematykom, że nie nie da się całkowicie zamknąć jej w niesprzecznych i rozstrzygalnych systemach aksjomatycznych, mimo, iż jak dotąd nie stworzono/odkryto dla nich skuteczniejszych alternatyw. Niesamowicie ciekawie przedstawił autor znamienne, konsekwencje jakie mają dla całej matematyki oraz informatyki (głównie w odniesieniu do możliwości obliczeniowych komputerów i sztucznej inteligencji) twierdzenia Gödla, właśnie ten fragment stanowi zdecydowanie najciekawszą część książki. Rozdział kończy krótki opis badań G. Chaitina w zakresie matematycznej części informatyki, w kontekście wyznaczenia przez niego liczby Ω (stałej Chaitina).
Rozdział czwarty zawiera filozoficzną refleksje na temat matematyki, głównie na podstawie formalizmu D. Hilberta i poważnych konsekwencji twierdzeń Gödla, autor wspomniał również o twierdzeniu Shannona, opisał badania dotyczące poznania (intuicji?) matematycznego człowieka w zależności od jego stadium rozwojowego, na przykładzie eksperymentów psychologicznych J. Piageta i H. Gardnera oraz hipotezy o niealgorytmicznym funkcjonowaniu ludzkiego mózgu, wynikającego z faktu, że człowiek (K. Gödel) potrafił on udowodnić niezupełność arytmetyki liczb naturalnych (I twierdzenie Gödla),co wyznacza granice formalizacji w matematyce, pewną ograniczoność poznawczą systemów aksjomatyczno-dedukcyjnych oraz niewyczerpywalną ilość prawd matematycznych
Rozdział piąty zaczyna się od przedstawienia historii genialnego samouka matematycznego S. Ramanujana. Następnie opisuje rozwój intuicjonizmu matematycznego, rozwijanego głównie przez L. Brouwera, który miał na celu usunięcie z matematyki klasycznej neintuicjonistycznych pojęć, tym samym mocno ją ograniczając (całe szczęście, że paradygmat ten nie zyskał sobie wielu zwolenników…). Kolejno autor omawia przełomowe prace G. Cantora dotyczące teorii mnogości oraz badania P. Cochena, który za pomocą forcingu (pol. wymuszania) udowodnił niezależność hipotezy continuum z powszechnie stosowaną teoriomnogościową aksjomatyką Zermela-Fraenkla (𝑍𝐹),a której niesprzeczność tej hipotezy z 𝑍𝐹 już K. Gödel. Rozdział zawiera również opis historii tejże hipotezy, a także twierdzenia o czterech barwach, które zostało rozwiązane przy użyciu komputera, a dla którego klasyczny dowód matematyczny, nie został jak dotąd podany, fragment ten podejmuje refleksję nad tym, gdzie znajduje granica matematyki, jako aktywności intelektualnej, będącej, domeną 𝐻𝑜𝑚𝑜 𝑆𝑎𝑝𝑖𝑒𝑛𝑠. Oczywiście w tym temacie nie mogło zabraknąć również omówienia prac A. Turinga (w tym hipotezy Churcha-Turinga) dotyczących funkcji nieobliczalnych, i tym samym ograniczonej możliwości obliczeniowej komputerów.
Ostatni, szósty rozdział, traktuje o platonizmie matematycznym (jako obecnie wiodącym kierunku filozoficznym w matematyce),zaczynając od starożytnej Grecji, gdzie ma on swoje korzenie, przechodząc kolejno do poglądów C. Hermite'a i R. Penrose'a. Oprócz filozoficznego konspektu matematyki, na przykładzie platonizmu, scharakteryzowany został również jej aspekt kulturowy i refleksja nad jej wyjątkową skutecznością w opisywaniu otaczającej nas rzeczywistości, a także, na swój sposób, "matematycznego funkcjonowania" nas samych - ludzi.
Całość kończy bardzo bogata bibliografia uświadamiająca czytelnikowi ogrom pracy autora włożony w napisanie tej książki, która wyjątkowo rzetelnie przedstawia problemy nieleżące w zakresie jego aktywności zawodowej jako fizyka i matematyka, choć mocno irytujące są odniesienia do boga (tak wiem, autor jest anglikaninem),sugerujące, choć nie wprost, jego rolę we wszechświecie.
Podsumowując – jest to wyjątkowo ciekawa i cenna książka, poruszająca szeroki zakres najciekawszych zagadnień matematyki - jej historii, odkryć, zastosowań oraz wpływu na naszą cywilizację. Napisana jest w sposób wzbudzający ogromne zainteresowanie i skłaniający do refleksji nie tylko nad matematyką jako nauką, ale i nad światem oraz ludzką naturą. Polecam ścisłowcom i tzw. „humanistom”, bez wyjątku!

Książka J. Barrowa dotyczy szeroko pojętej matematyki, i bynajmniej nie mam tu na myśli tego, że jest to podręcznik do jej nauki. Jest to pozycja typowo popularnonaukowa, zawierająca wiele zagadnień bezpośrednio z nią związanych, które przedstawione są w sześciu rozdziałach.
Pierwszy znihc („Od misterium do historii”) dotyczy ogólnej refleksji nad matematyką jako nauką...

Jest to książka o matematyce, ale wymaga podstawowej wiedzy matematycznej. Czym jest matematyka? Czy ją odkrywamy, czy sami ją wymyślamy? Dlaczego świat jest matematyczny, czyli możliwy do opisu przez matematykę. Jak zaczęliśmy liczyć i kiedy są początki matematyki? Czy narodziła się samoistnie w wielu kulturach, czy stworzyły ją nieliczne kultury, a później się rozpowszechniła? Matematycy to ludzie, a więc nie można odrzucić psychologicznego i socjologicznego aspektu, a także filozofii matematyki Jaki wpływ miała matematyka na sposób naszego pojmowania świata. Odkrycie liczb niewymiernych był końcem pitagorejczyków. Kiedy zawaliły się filary niezmienne na świecie, czyli geometria Euklidesa i logika Arystotelesa i powstały geometrie nieeuklidesowe i inne systemy logiczne to czy wkroczył relatywizm do naszej wiedzy. Jaki to miało wpływ na pozostałe dziedziny ludzkiej aktywności. Prace Gödla ukazują nam, że są pytania na które nie ma rozstrzygających odpowiedzi i dostarczają rozróżnienia między możliwościami maszyny i ludzkiego umysłu. Prace Turinga pokazują ograniczenia komputerów. Czym zatem jest matematyka i czy jest wstanie odpowiedzieć na wszystkie pytania dotyczące wszechświata? Ukazane są też sylwetki największych matematyków i ich spory.
Bardzo dobrze napisana książka o historii , dokonaniach matematyki i matematyków. Napisana przejrzystym, zrozumiałym językiem i budująca napięcie w trakcie czytania..Dla wszystkich tych, którzy chcą poznać odpowiedzi na powyżej wymienione pytania. Także dla tych co zastanawiają się, czy istnieje „Teoria Wszystkiego” i czy może powstać sztuczna inteligencja. Polecam.

Jest to książka o matematyce, ale wymaga podstawowej wiedzy matematycznej. Czym jest matematyka? Czy ją odkrywamy, czy sami ją wymyślamy? Dlaczego świat jest matematyczny, czyli możliwy do opisu przez matematykę. Jak zaczęliśmy liczyć i kiedy są początki matematyki? Czy narodziła się samoistnie w wielu kulturach, czy stworzyły ją nieliczne kultury, a później się...

Matematyka, filozofia, filozofia matematyki.
Bardzo ciekawe wprowadzenie w to jak kształtowało się nasze myślenie matematyczne, skąd się bierze i co w zasadzie znaczy. Interesujące przykłady. Jednego wieczora wciągnęła mnie bardziej niż jakiś thriller.

Matematyka, filozofia, filozofia matematyki.
Bardzo ciekawe wprowadzenie w to jak kształtowało się nasze myślenie matematyczne, skąd się bierze i co w zasadzie znaczy. Interesujące przykłady. Jednego wieczora wciągnęła mnie bardziej niż jakiś thriller.

Historia liczb opowiedziana we wspaniały sposób.

Historia liczb opowiedziana we wspaniały sposób.

„Matematyka jest królową nauk” – głosi stare porzekadło. Z pewnością odnosi się to do całego postępu technicznego jaki się dokonał, ale jeżeli przyjrzeć się innym naukom przyrodniczym, to bez niej nigdy nie udałoby się ich opisać w tak zgrabnej formie. Można śmiało przyjąć tezę, że matematyka jest pewnym specyficznym językiem, lecz John Barrow próbuje dowieść, iż oprócz tego stanowi również coś więcej. Co? Na to autor nie daje jednoznacznej odpowiedzi.

Na początku następuje zgrabne rozdzielenie matematyki na dwie części: tą techniczną, badawczą, związaną z technologią i codziennym życiem oraz jej teoretyczną odmianę, która opiera się na mniej lub bardziej abstrakcyjnych tworach. Książka skupia się właśnie na tej drugiej. Można powiedzieć, że stanowi przegląd historii i rozwoju myśli matematycznej na przestrzeni dziejów: począwszy od najdawniejszych, starożytnych kultur przez epoki nowożytne aż do współczesności. Efektownie ukazany został postęp, jakiego dokonywała w tej materii ludzkość co przejawiało się tempem dochodzenia do pewnych wniosków i twierdzeń, które to prowokowały do dalszych badań. Co prawda „Pi razy drzwi” czyta się jak powieść, ale jednak jest sporo fragmentów opisów, z których trudno się wygrzebać. Tyczy się to szczególnie rozwoju logiki i objaśniania teorii Godla, Kroneckera czy Poincarego, które same w sobie nie należą do łatwych i intuicyjnych sformułowań, więc bywa, że miejscami pewne podrozdziały trzeba przeczytać po dwa-trzy razy żeby w pełni wyobrazić sobie zawiłe rozumowanie jakiego podejmowali się ci wielcy naukowcy.

Pojawia się także wątek związany z religią, co jest o tyle zrozumiałe, że odwieczny spór między „czuciem i wiarą”, a „szkiełkiem i okiem” trwa w najlepsze i nic nie wskazuje na to, aby miał się zakończyć. Autor nie staje po żadnej stronie, jednak pozostając neutralnym zwraca jedynie uwagę na fakt, że jeśli przyjmiemy matematykę za budulec współczesnej cywilizacji to także i ona posiada pewne cechy niewyjaśnialne i niewytłumaczalne, czego najlepszym dowodem jest pojęcie aksjomatu. Jest to pojęcie, które przyjmuje się niejako na wiarę i nie wymaga ono dowodu, a na którym to oparte są dalsze wyprowadzenia. Warto tu przytoczyć twór zwany punktem materialnym, prostą (czyli fundamenty arytmetyki kartezjańskiej) czy fizycznymi modelami ciał doskonałych – obiektami, które albo nie istnieją albo przyjmuje się za pewnik i przechodzi nad nimi do porządku dziennego.
Wraz z rozwojem technicznym, kolejne teorie matematyczne stają się coraz bardziej zawiłe, jednak pojawienie się komputerów w latach 40-tych ubiegłego wieku sprawia, że wiele zagadnień sprowadza się do wynalezienia algorytmu o możliwie najmniejszej złożoności, który potrafiłby dany problem rozwikłać. Jest to nieco mniej interesująca treść książki, gdyż w porównaniu do „boomu” jaki nastąpił w XVIII i XIX wieku tutaj zawężamy pole zainteresowań do właściwego poinstruowania maszyny. Na pytanie stawiane przez Browna „czym jest matematyka?” istnieje wiele odpowiedzi. Motor postępu, zbiór regułek i zasad oderwanych od rzeczywistości, intelektualna zabawa, ładnie zawoalowany bełkot („Zbiór pusty jest swoim własnym elementem, choć sam nie zawiera żadnych elementów”),odmiana filozofii czy wręcz religia? Lektura książki nie daje odpowiedzi, choć autor ma swoje preferencje.

Mimo wszystko „Pi razy drzwi” stanowi ewenement w literaturze ze względu na bardzo niszową tematykę, która – nie ma co tego ukrywać – większość ludzi bardziej odstrasza niż intryguje. Wartością dodaną do powieści jest stosunkowo przejrzysty i zrozumiały język autora (będącego, nomen omen, profesorem akademickim),który próbuje jak może przedstawić nam najbardziej przełomowe przemyślenia wybitnych postaci w jasny sposób. Warto czasem zanurzyć się w świecie idei, które rozpalały ostre spory, zajmowały najbystrzejsze umysły, a nawet prowadziły do obłędu. To takie odświeżające.

„Matematyka jest królową nauk” – głosi stare porzekadło. Z pewnością odnosi się to do całego postępu technicznego jaki się dokonał, ale jeżeli przyjrzeć się innym naukom przyrodniczym, to bez niej nigdy nie udałoby się ich opisać w tak zgrabnej formie. Można śmiało przyjąć tezę, że matematyka jest pewnym specyficznym językiem, lecz John Barrow próbuje dowieść, iż oprócz...